Номер 19, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите сторону $BC$ параллелограмма, если $OC = 6 \text{ см}$ и $\angle BCO = 60^\circ$.

19. Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите сторону $BC$ параллелограмма, если $OC = 6$ см и $\angle BCO = 60^\circ$.

Поскольку $CO$ является биссектрисой угла $C$ параллелограмма $ABCD$, она делит угол $\angle BCD$ на два равных угла. Из условия нам известно, что $\angle BCO = 60^{\circ}$, следовательно, $\angle OCD$ также равен $60^{\circ}$.
Таким образом, весь угол $C$ параллелограмма равен:$\angle BCD = \angle BCO + \angle OCD = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Углы $B$ и $C$ являются соседними, поэтому:$\angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ}$.
Найдем величину угла $B$:$\angle ABC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.

$BO$ является биссектрисой угла $B$, поэтому она делит его пополам:$\angle OBC = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $BOC$. Мы знаем два его угла: $\angle BCO = 60^{\circ}$ и $\angle OBC = 30^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому третий угол $\angle BOC$ равен:$\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle BCO + \angle OBC) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

Это означает, что треугольник $BOC$ — прямоугольный, где $BC$ — гипотенуза, а $OC$ и $OB$ — катеты. Мы можем найти длину гипотенузы $BC$, используя тригонометрические соотношения. Например, через косинус угла $\angle BCO$:$\cos(\angle BCO) = \frac{OC}{BC}$
$\cos(60^{\circ}) = \frac{6}{BC}$
Зная, что $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:$\frac{1}{2} = \frac{6}{BC}$
Отсюда $BC = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: 12 см