Номер 26, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно и точка $O$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма.

26. Постройте параллелограмм $ABCD$, если заданы точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно и точка $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Для построения параллелограмма $ABCD$ по заданным точкам $M$ (середина $AB$), $N$ (середина $BC$) и $O$ (точка пересечения диагоналей) необходимо сначала определить положение одной из вершин, например, вершины $B$.

Проведем анализ. Пусть искомый параллелограмм $ABCD$ построен. Точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. В треугольнике $ABD$ отрезок $MO$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$, следовательно, $MO$ является средней линией. По свойству средней линии, $MO \parallel AD$ и $MO = \frac{1}{2}AD$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$ и $AD = BC$. Точка $N$ является серединой стороны $BC$, поэтому $BN = \frac{1}{2}BC$ и отрезок $BN$ лежит на прямой $BC$.

Из этих соотношений следует, что $MO \parallel BN$ и $MO = BN$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Таким образом, четырехугольник $MONB$ является параллелограммом. Это свойство позволяет нам найти вершину $B$, а затем и все остальные вершины параллелограмма $ABCD$.

На основе этого анализа можно сформулировать следующий алгоритм построения:

1. Соединить отрезками точки $M$, $O$ и $N$.

2. Построить вершину $B$ как четвертую вершину параллелограмма $MONB$. Для этого нужно провести через точку $N$ прямую, параллельную отрезку $MO$, и через точку $M$ прямую, параллельную отрезку $ON$. Точка пересечения этих прямых и будет вершиной $B$.

3. Построить вершину $A$. Так как $M$ — середина $AB$, нужно провести прямую через точки $B$ и $M$ и отложить на ней от точки $M$ отрезок $MA$, равный отрезку $BM$, так, чтобы точка $M$ оказалась между $A$ и $B$.

4. Построить вершину $C$. Так как $N$ — середина $BC$, нужно провести прямую через точки $B$ и $N$ и отложить на ней от точки $N$ отрезок $NC$, равный отрезку $BN$, так, чтобы точка $N$ оказалась между $B$ и $C$.

5. Построить вершину $D$. Так как $O$ — середина $BD$, нужно провести прямую через точки $B$ и $O$ и отложить на ней от точки $O$ отрезок $OD$, равный отрезку $BO$, так, чтобы точка $O$ оказалась между $B$ и $D$.

6. Соединить последовательно точки $A, B, C, D$.

Докажем, что полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом. По построению, $M$, $N$ и $O$ являются серединами отрезков $AB$, $BC$ и $BD$ соответственно. В четырехугольнике $ABCD$ диагональ $BD$ имеет середину в точке $O$. В $\triangle ABD$ отрезок $MO$ является средней линией, поэтому $\vec{MO} = \frac{1}{2}\vec{AD}$. По построению $MONB$ — параллелограмм, поэтому $\vec{MO} = \vec{BN}$. Так как $N$ — середина $BC$, то $\vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$. Следовательно, $\frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{BC}$, что означает $\vec{AD} = \vec{BC}$. Таким образом, стороны $AD$ и $BC$ равны и параллельны, а значит, $ABCD$ — параллелограмм. Его диагональ $BD$ имеет серединой точку $O$. Так как в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, то и диагональ $AC$ проходит через точку $O$ и делится ею пополам. Таким образом, построенный параллелограмм $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет единственное решение, если точки $M, O, N$ не лежат на одной прямой. В противном случае параллелограмм вырождается в отрезок.

Ответ: Построение параллелограмма $ABCD$ выполняется в несколько шагов: сначала находится вершина $B$ как четвертая вершина параллелограмма $MONB$, затем, используя тот факт, что точки $M$, $N$ и $O$ являются серединами соответствующих отрезков, последовательно строятся вершины $A$ (симметрично $B$ относительно $M$), $C$ (симметрично $B$ относительно $N$) и $D$ (симметрично $B$ относительно $O$).