Номер 31, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. На рисунке 88 $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$. Най- дите отрезок $A_1C$, если $BB_1 = 8 \text{ см}$, $AC_1 = 18 \text{ см}$.

Рис. 88

31. На рисунке 88 $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$. Найдите отрезок $A_1C$, если $BB_1 = 8$ см, $AC_1 = 18$ см.

Рис. 88

По условию задачи даны два треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, у которых соответствующие стороны равны: $ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $ и $ AC = A_1C_1 $.

Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Таким образом, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $.

Из рисунка видно, что точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной прямой. Углы $ \angle BAC $ и $ \angle B_1A_1C_1 $ являются соответственными при прямых AB и A₁B₁ и секущей AC₁. Поскольку эти углы равны, прямые AB и A₁B₁ параллельны ($ AB \parallel A_1B_1 $).

Рассмотрим четырехугольник ABB₁A₁. У него две противоположные стороны AB и A₁B₁ равны ($ AB = A_1B_1 $ по условию) и параллельны ($ AB \parallel A_1B_1 $ как было доказано выше). Следовательно, четырехугольник ABB₁A₁ является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $ AA_1 = BB_1 $.

По условию $ BB_1 = 8 $ см, значит $ AA_1 = 8 $ см.

Точки A, A₁ и C₁ лежат на одной прямой. Длина отрезка AC₁ равна сумме длин отрезков AA₁ и A₁C₁:$ AC_1 = AA_1 + A_1C_1 $.

Подставим известные значения $ AC_1 = 18 $ см и $ AA_1 = 8 $ см в это равенство, чтобы найти длину A₁C₁:$ 18 = 8 + A_1C_1 $$ A_1C_1 = 18 - 8 = 10 $ см.

По условию $ AC = A_1C_1 $, следовательно, $ AC = 10 $ см.

Точки A, A₁ и C также лежат на одной прямой. Длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AA₁ и A₁C:$ AC = AA_1 + A_1C $.

Подставим известные значения $ AC = 10 $ см и $ AA_1 = 8 $ см, чтобы найти искомый отрезок A₁C:$ 10 = 8 + A_1C $$ A_1C = 10 - 8 = 2 $ см.

Ответ: 2 см.