Номер 28, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются

в точке $O$. Известно, что $AO = OC$. Какое условие

должно выполняться для отрезков $BO$ и $OD$, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом?

28. Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Известно, что $AO = OC$. Какое условие должно выполняться для отрезков $BO$ и $OD$, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был параллелограммом?

Согласно одному из признаков параллелограмма, четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

В заданном четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию, для диагонали AC уже выполняется равенство $AO = OC$. Это означает, что точка O является серединой диагонали AC.

Чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом, необходимо, чтобы и вторая диагональ, BD, также делилась точкой пересечения O пополам. Для этого должно выполняться условие $BO = OD$.

Докажем, что это условие является достаточным. Рассмотрим треугольники ΔAOB и ΔCOD.

1. $AO = OC$ (по условию).
2. $BO = OD$ (требуемое условие).
3. $\angle AOB = \angle COD$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники ΔAOB и ΔCOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$. Углы $\angle OAB$ и $\angle OCD$ являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. Так как эти углы равны, то прямые AB и CD параллельны ($AB \parallel CD$).

В четырехугольнике ABCD две противоположные стороны (AB и CD) равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

Таким образом, для того чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом, для отрезков BO и OD должно выполняться условие их равенства.

Ответ: $BO = OD$.