Номер 10, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. Существует ли четырёхугольник, периметр которого равен 74 см, а диагонали равны:

1) 28 см и 47 см;

2) 17 см и 21 см?

10. Существует ли четырёхугольник, периметр которого равен 74 см, а диагонали равны:

1) 28 см и 47 см;

2) 17 см и 21 см?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством сторон и диагоналей любого выпуклого четырёхугольника. Сумма длин диагоналей любого выпуклого четырёхугольника всегда меньше его периметра.

Докажем это свойство. Пусть у нас есть четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ и диагоналями $AC$ и $BD$. Периметр $P = AB + BC + CD + DA$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$. Согласно неравенству треугольника:

$AC < AB + BC$

$AC < AD + DC$

Сложив эти два неравенства, получим:

$2 \cdot AC < AB + BC + AD + DC$

$2 \cdot AC < P$, откуда $AC < \frac{P}{2}$.

Аналогично для диагонали $BD$, рассмотрев треугольники $ABD$ и $CBD$:

$BD < AB + AD$

$BD < BC + CD$

Сложив эти неравенства, получим:

$2 \cdot BD < AB + AD + BC + CD$

$2 \cdot BD < P$, откуда $BD < \frac{P}{2}$.

Теперь сложим неравенства для обеих диагоналей:

$AC + BD < \frac{P}{2} + \frac{P}{2}$

$AC + BD < P$

Таким образом, для существования четырёхугольника необходимо, чтобы сумма его диагоналей была меньше его периметра. Проверим это условие для каждого случая.

1) 28 см и 47 см;

Периметр четырёхугольника $P = 74$ см.

Длины диагоналей $d_1 = 28$ см и $d_2 = 47$ см.

Найдём сумму длин диагоналей:

$d_1 + d_2 = 28 + 47 = 75$ см.

Проверим выполнение неравенства $d_1 + d_2 < P$:

$75 \text{ см} < 74 \text{ см}$

Это неравенство неверно. Следовательно, четырёхугольник с такими параметрами не существует.

Ответ: не существует.

2) 17 см и 21 см?

Периметр четырёхугольника $P = 74$ см.

Длины диагоналей $d_1 = 17$ см и $d_2 = 21$ см.

Найдём сумму длин диагоналей:

$d_1 + d_2 = 17 + 21 = 38$ см.

Проверим выполнение неравенства $d_1 + d_2 < P$:

$38 \text{ см} < 74 \text{ см}$

Это неравенство верно. Также существует и другое необходимое условие: сумма диагоналей должна быть больше полупериметра ($d_1 + d_2 > \frac{P}{2}$).

Проверим его:

$\frac{P}{2} = \frac{74}{2} = 37$ см.

$38 \text{ см} > 37 \text{ см}$

Это неравенство также верно. Так как оба основных необходимых условия для существования выпуклого четырёхугольника выполняются, можно сделать вывод, что такой четырёхугольник существует.

Ответ: существует.