Номер 8, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Периметр четырёхугольника равен 62 см, а периметры треугольников, на которые одна из диагоналей разбивает данный четырёхугольник, равны 39 см и 45 см. Найдите эту диагональ четырёхугольника.

8. Периметр четырёхугольника равен 62 см, а периметры треугольников, на которые одна из диагоналей разбивает данный четырёхугольник, равны 39 см и 45 см. Найдите эту диагональ четырёхугольника.

Пусть стороны четырехугольника равны $a, b, c, d$. Его периметр $P_{четыр.}$ — это сумма длин всех сторон.

$P_{четыр.} = a + b + c + d = 62$ см.

Пусть диагональ, которая делит четырехугольник на два треугольника, имеет длину $x$.

Эта диагональ образует два треугольника:

1. Первый треугольник со сторонами $a, b$ и диагональю $x$. Его периметр $P_1$ равен $39$ см.
2. Второй треугольник со сторонами $c, d$ и той же диагональю $x$. Его периметр $P_2$ равен $45$ см.

Запишем формулы для периметров этих треугольников:

$P_1 = a + b + x = 39$ см

$P_2 = c + d + x = 45$ см

Сложим периметры двух треугольников:

$P_1 + P_2 = (a + b + x) + (c + d + x)$

Сумма периметров треугольников включает в себя все четыре стороны четырехугольника и дважды длину диагонали (поскольку она является общей стороной для обоих треугольников).

$P_1 + P_2 = (a + b + c + d) + 2x$

Мы знаем, что $(a + b + c + d)$ — это периметр четырехугольника, который равен $62$ см. Подставим все известные значения в уравнение:

$39 + 45 = 62 + 2x$

$84 = 62 + 2x$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$2x = 84 - 62$

$2x = 22$

$x = \frac{22}{2}$

$x = 11$ см

Таким образом, длина диагонали четырехугольника составляет 11 см.

Ответ: 11 см.