Номер 155, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ известно, что $BC : A_1B_1 = AB : B_1C_1 = 0,4, \angle B = \angle B_1$. Найдите стороны $AC$ и $A_1C_1$, если их сумма равна 21 см.

155. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ известно, что $BC : A_1B_1 = AB : B_1C_1 = 0,4$, $\angle B = \angle B_1$. Найдите стороны $AC$ и $A_1C_1$, если их сумма равна 21 см.

Для решения задачи воспользуемся признаком подобия треугольников.

1. Доказательство подобия треугольников

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. По условию задачи, угол $ \angle B $ в первом треугольнике равен углу $ \angle B_1 $ во втором. Также нам даны соотношения сторон, образующих эти углы:

$ \frac{BC}{A_1B_1} = 0,4 $

$ \frac{AB}{B_1C_1} = 0,4 $

Из этих равенств следует, что $ \frac{AB}{B_1C_1} = \frac{BC}{A_1B_1} $.

Сравним $ \triangle ABC $ и $ \triangle C_1B_1A_1 $. У них:

1. $ \angle B = \angle B_1 $ (по условию).

2. Стороны, образующие эти углы, пропорциональны: $ \frac{AB}{C_1B_1} = \frac{BC}{A_1B_1} = 0,4 $ (поскольку длина отрезка $ B_1C_1 $ равна длине $ C_1B_1 $).

Таким образом, по второму признаку подобия треугольников (если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны), мы можем заключить, что $ \triangle ABC \sim \triangle C_1B_1A_1 $.

2. Нахождение сторон AC и A₁C₁

Из подобия треугольников $ \triangle ABC \sim \triangle C_1B_1A_1 $ следует, что отношение всех их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $ k $, который в данном случае равен 0,4. Для третьих сторон $ AC $ и $ C_1A_1 $ (которая равна $ A_1C_1 $) также справедливо это соотношение:

$ \frac{AC}{C_1A_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = 0,4 $

Из этого соотношения мы можем выразить одну сторону через другую:

$ AC = 0,4 \cdot A_1C_1 $.

По условию задачи, сумма длин этих сторон равна 21 см:

$ AC + A_1C_1 = 21 $

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Подставим выражение для $ AC $ из первого уравнения во второе:

$ (0,4 \cdot A_1C_1) + A_1C_1 = 21 $

Объединим слагаемые:

$ 1,4 \cdot A_1C_1 = 21 $

Теперь найдем длину стороны $ A_1C_1 $:

$ A_1C_1 = \frac{21}{1,4} = \frac{210}{14} = 15 $ см.

Зная $ A_1C_1 $, найдем длину стороны $ AC $:

$ AC = 0,4 \cdot A_1C_1 = 0,4 \cdot 15 = 6 $ см.

Проверим: $ AC + A_1C_1 = 6 + 15 = 21 $ см, что соответствует условию.

Ответ: $ AC = 6 $ см, $ A_1C_1 = 15 $ см.