Номер 156, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 24$ см, $BC = 18$ см. На стороне $AB$ отложили отрезок $BK$, равный $16$ см, а на стороне $BC$ — отрезок $BD$, равный $12$ см. Подобны ли треугольники $ABC$ и $KBD$?

156. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 24$ см, $BC = 18$ см. На стороне $AB$ отложили отрезок $BK$, равный $16$ см, а на стороне $BC$ — отрезок $BD$, равный $12$ см. Подобны ли треугольники $ABC$ и $KBD$?

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $KBD$, воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle KBD$. По условию задачи нам известны длины сторон:

• В треугольнике $ABC$: $AB = 24$ см, $BC = 18$ см.
• В треугольнике $KBD$: $BK = 16$ см, $BD = 12$ см.

1. Проверим равенство углов.
Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников, следовательно, $\angle ABC = \angle KBD$.

2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому углу.
Для подобия треугольников по второму признаку необходимо, чтобы стороны, образующие равные углы, были пропорциональны. Сравним отношения соответствующих сторон:

Отношение стороны $AB$ треугольника $ABC$ к стороне $BK$ треугольника $KBD$:

$\frac{AB}{BK} = \frac{24}{16} = \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{3}{2}$

Отношение стороны $BC$ треугольника $ABC$ к стороне $BD$ треугольника $KBD$:

$\frac{BC}{BD} = \frac{18}{12} = \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \frac{3}{2}$

Вывод:
Так как отношения сторон равны ($\frac{AB}{BK} = \frac{BC}{BD} = \frac{3}{2}$) и угол между этими сторонами ($\angle B$) является общим, то условия второго признака подобия треугольников выполняются. Следовательно, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $KBD$.

Ответ: Да, треугольники $ABC$ и $KBD$ подобны.