Номер 184, страница 90 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

184. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 13$ см, $BC = 20$ см, а высота $CD = 12$ см. Найдите сторону $AB$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

184. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 13$ см, $BC = 20$ см, а высота $CD$ равна 12 см. Найдите сторону $AB$ треугольника. Сколько решений имеет задача?

Пусть $CD$ — высота треугольника $ABC$, опущенная на прямую, содержащую сторону $AB$. По определению высоты, $CD \perp AB$, следовательно, треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$ являются прямоугольными с общим катетом $CD = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. По теореме Пифагора, $AC^2 = AD^2 + CD^2$. Найдем длину катета $AD$:
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$
$AD = \sqrt{25} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDC$. По теореме Пифагора, $BC^2 = BD^2 + CD^2$. Найдем длину катета $BD$:
$BD^2 = BC^2 - CD^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$
$BD = \sqrt{256} = 16$ см.

Длина стороны $AB$ зависит от расположения точки $D$ (основания высоты) на прямой $AB$. Существует два возможных случая.

Случай 1: Точка D лежит между точками A и B.
Это соответствует случаю, когда углы $\angle A$ и $\angle B$ в треугольнике $ABC$ острые. В этом случае длина стороны $AB$ является суммой длин отрезков $AD$ и $BD$.
$AB = AD + BD = 5 + 16 = 21$ см.

Случай 2: Точка D лежит вне отрезка AB.
Это соответствует случаю, когда один из углов при основании $AB$ является тупым. Поскольку $BD > AD$, возможен только вариант, когда точка $A$ лежит между точками $B$ и $D$ (то есть, угол $\angle A$ тупой). В этом случае длина стороны $AB$ равна разности длин отрезков $BD$ и $AD$.
$AB = BD - AD = 16 - 5 = 11$ см.
(Случай, когда точка $B$ лежит между $A$ и $D$, невозможен, так как привел бы к отрицательной длине $AB = AD - BD = 5 - 16 = -11$ см).

Найдите сторону AB треугольника.
Таким образом, сторона $AB$ может иметь два возможных значения в зависимости от конфигурации треугольника.
Ответ: 21 см или 11 см.

Сколько решений имеет задача?
Так как мы получили два различных и геометрически возможных значения для длины стороны $AB$, задача имеет два решения.
Ответ: 2 решения.