Номер 248, страница 98 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

248. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

248. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Найдите высоту треугольника, проведённую к гипотенузе.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Высота, проведённая к гипотенузе, обозначим как $h$. Согласно условию задачи, имеем $a = 8$ см и $b = 15$ см.

1. Для нахождения высоты, проведённой к гипотенузе, сначала необходимо найти длину самой гипотенузы. Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $c^2 = a^2 + b^2$.

Подставим известные значения катетов:

$c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

Теперь найдём длину гипотенузы, извлекая квадратный корень:

$c = \sqrt{289} = 17$ см.

2. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами. Первый способ — через катеты:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Второй способ — через гипотенузу и высоту, проведённую к ней:

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$

3. Поскольку оба выражения определяют площадь одного и того же треугольника, мы можем их приравнять:

$\frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} c h$

Умножим обе части равенства на 2, чтобы упростить его:

$a b = c h$

4. Из полученного равенства выразим искомую высоту $h$:

$h = \frac{a \cdot b}{c}$

5. Подставим числовые значения длин катетов и гипотенузы в эту формулу:

$h = \frac{8 \cdot 15}{17} = \frac{120}{17}$ см.

Результат можно оставить в виде неправильной дроби или перевести в смешанную: $120 \div 17 = 7$ (остаток $1$), то есть $h = 7 \frac{1}{17}$ см.

Ответ: $\frac{120}{17}$ см.