Номер 256, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

256. Перпендикуляр, проведённый из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит её на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите площадь треугольника.

256. Перпендикуляр, проведённый из середины основания равнобедренного треугольника к боковой стороне, делит её на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$. Тогда боковые стороны равны: $AB = BC$.

Пусть $M$ — середина основания $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, медиана $BM$, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BM \perp AC$, и $\triangle BMC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

По условию задачи, из точки $M$ проведён перпендикуляр $MH$ к боковой стороне $BC$. Точка $H$ лежит на стороне $BC$ и делит её на отрезки длиной 9 см и 16 см. Таким образом, длина боковой стороны $BC$ равна сумме длин этих отрезков:

$BC = 9 + 16 = 25$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle BMC$ (с прямым углом $\angle BMC$) и $\triangle MHC$ (с прямым углом $\angle MHC$). У этих треугольников есть общий острый угол $\angle C$. Следовательно, треугольники подобны по двум углам (в данном случае, по острому углу): $\triangle BMC \sim \triangle MHC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{BC}{MC} = \frac{MC}{HC}$

Из этой пропорции можно выразить $MC$:

$MC^2 = BC \cdot HC$

Существует два возможных случая, в зависимости от того, какой из отрезков на стороне $BC$ является отрезком $HC$ (отрезок, примыкающий к основанию).

Случай 1: $HC = 16$ см

В этом случае, $BH = 9$ см. Используя выведенную формулу, найдём $MC$:

$MC^2 = 25 \cdot 16 = 400$

$MC = \sqrt{400} = 20$ см.

Поскольку $M$ — середина основания $AC$, длина основания равна $AC = 2 \cdot MC = 2 \cdot 20 = 40$ см.

Теперь найдём высоту $BM$, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle BMC$:

$BM^2 = BC^2 - MC^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225$

$BM = \sqrt{225} = 15$ см.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 15 = 300$ см$^2$.

Случай 2: $HC = 9$ см

В этом случае, $BH = 16$ см. Снова используем формулу для $MC$:

$MC^2 = 25 \cdot 9 = 225$

$MC = \sqrt{225} = 15$ см.

Длина основания $AC = 2 \cdot MC = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Найдём высоту $BM$ из $\triangle BMC$:

$BM^2 = BC^2 - MC^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400$

$BM = \sqrt{400} = 20$ см.

Площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 20 = 300$ см$^2$.

В обоих случаях результат получается одинаковым.

Ответ: $300$ см$^2$.