Номер 257, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

257. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 35 см, а радиус вписанной окружности — 7 см.

257. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 35 см, а радиус вписанной окружности — 7 см.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза. Площадь $S$ такого треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.

По условию задачи даны гипотенуза $c = 35$ см и радиус вписанной окружности $r = 7$ см.

Для прямоугольного треугольника существует формула, связывающая радиус вписанной окружности с его сторонами:$r = \frac{a+b-c}{2}$

Из этой формулы можно выразить сумму катетов $a+b$:$a+b = 2r + c$

Подставим известные значения:$a+b = 2 \cdot 7 + 35 = 14 + 35 = 49$ см.

Теперь рассмотрим другую формулу для площади треугольника, через радиус вписанной окружности и полупериметр $p$:$S = p \cdot r$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Мы можем вычислить полупериметр, так как нам известна сумма всех сторон:$p = \frac{(a+b)+c}{2} = \frac{49+35}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

Теперь найдем площадь треугольника:$S = p \cdot r = 42 \cdot 7 = 294$ см².

Альтернативный способ:
Мы нашли, что $a+b = 49$. По теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2 = 35^2 = 1225$.
Возведем сумму катетов в квадрат:$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
$49^2 = 1225 + 2ab$
$2401 = 1225 + 2ab$
$2ab = 2401 - 1225 = 1176$
Площадь треугольника $S = \frac{1}{2}ab$. Умножив на 2, получим $2S = ab$.Так как $2ab = 1176$, то $ab = \frac{1176}{2} = 588$.
Тогда площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 588 = 294$ см².

Ответ: 294 см².