Номер 259, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

259. Площадь треугольника $ABC$ равна $42 \text{ см}^2$. Точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении $2 : 5$, считая от точки $A$. Найдите площади треугольников $ABK$ и $KBC$.

259. Площадь треугольника $ABC$ равна $42 \text{ см}^2$. Точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении $2:5$, считая от точки $A$. Найдите площади треугольников $ABK$ и $KBC$.

Рассмотрим треугольники $ABK$ и $KBC$. У них есть общая вершина $B$, а их основания $AK$ и $KC$ лежат на одной прямой $AC$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$. Эта высота будет общей для треугольников $ABK$ и $KBC$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. Для наших треугольников: $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot BH$
$S_{KBC} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot BH$

Найдем отношение площадей этих треугольников: $$ \frac{S_{ABK}}{S_{KBC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot BH}{\frac{1}{2} \cdot KC \cdot BH} = \frac{AK}{KC} $$ Это означает, что площади треугольников с общей высотой относятся так же, как и длины их оснований.

По условию задачи, точка $K$ делит сторону $AC$ в отношении $2:5$, считая от точки $A$, то есть $AK:KC = 2:5$. Следовательно, отношение площадей треугольников также равно $2:5$: $S_{ABK} : S_{KBC} = 2:5$.

Сумма площадей треугольников $ABK$ и $KBC$ равна площади всего треугольника $ABC$: $S_{ABK} + S_{KBC} = S_{ABC} = 42 \text{ см}^2$.

Таким образом, общую площадь в $42 \text{ см}^2$ необходимо разделить в отношении $2:5$. Общее количество частей в этом отношении составляет $2 + 5 = 7$ частей.

Найдем, какая площадь приходится на одну часть: $ \frac{42}{7} = 6 \text{ см}^2 $.

Площадь треугольника ABK
Площадь этого треугольника соответствует 2 частям. Следовательно, $S_{ABK} = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}^2$.
Ответ: $12 \text{ см}^2$.

Площадь треугольника KBC
Площадь этого треугольника соответствует 5 частям. Следовательно, $S_{KBC} = 5 \cdot 6 = 30 \text{ см}^2$.
Ответ: $30 \text{ см}^2$.