Номер 258, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

258. В прямоугольный треугольник ABC ($\angle B = 90^\circ$) вписана окружность с центром O (рис. 122), K — точка касания окружности со стороной AB. Найдите площадь треугольника ABC, если $BK = 4\sqrt{3}$ см, $\angle C = 30^\circ$.

Рис. 122

258. В прямоугольный треугольник $ABC (\angle B = 90^\circ)$ вписана окружность с центром $O$ (рис. 122), $K$ — точка касания окружности со стороной $AB$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BK = 4\sqrt{3}$ см, $\angle C = 30^\circ$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle B = 90^\circ$. В него вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$. Точки касания окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ обозначим как $K$, $M$ и $N$ соответственно. По условию, $K$ — точка касания со стороной $AB$, $BK = 4\sqrt{3}$ см, а $\angle C = 30^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $BKOM$. Так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным, то $OK \perp AB$ и $OM \perp BC$. Следовательно, углы $\angle OKB$ и $\angle OMB$ прямые. Угол $\angle B$ также прямой по условию. Таким образом, $BKOM$ — прямоугольник. Поскольку смежные стороны $OK$ и $OM$ равны как радиусы одной окружности ($OK = OM = r$), четырехугольник $BKOM$ является квадратом.

Из этого следует, что $BK = BM = OK = OM = r$. По условию $BK = 4\sqrt{3}$ см, значит, радиус вписанной окружности $r = 4\sqrt{3}$ см.

Найдем углы треугольника $ABC$. Известно, что $\angle B = 90^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC$. Для ее нахождения необходимо найти длины катетов $AB$ и $BC$. Катеты состоят из отрезков: $AB = AK + KB$ и $BC = CM + MB$. Мы знаем, что $KB = MB = r = 4\sqrt{3}$ см.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем $AK = AN$. Центр вписанной окружности $O$ лежит на биссектрисе угла $A$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKO$ ($\angle AKO = 90^\circ$). Угол $\angle KAO$ равен половине угла $A$: $\angle KAO = \frac{1}{2}\angle A = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Из треугольника $AKO$ найдем $AK$ через тангенс: $\text{tg}(\angle KAO) = \frac{OK}{AK}$, откуда $AK = \frac{OK}{\text{tg}(\angle KAO)} = \frac{r}{\text{tg}(30^\circ)}$. Подставив значения, получаем: $AK = \frac{4\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Теперь можем найти длину катета $AB$: $AB = AK + KB = 12 + 4\sqrt{3}$ см.

Длину катета $BC$ можно найти из основного треугольника $ABC$ через тангенс угла $C$: $\text{tg}(\angle C) = \frac{AB}{BC}$, откуда $BC = \frac{AB}{\text{tg}(\angle C)} = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{\text{tg}(30^\circ)}$. Подставив значения, получаем: $BC = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = (12 + 4\sqrt{3})\sqrt{3} = 12\sqrt{3} + 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12\sqrt{3} + 4 \cdot 3 = 12 + 12\sqrt{3}$ см.

Наконец, вычислим площадь треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot BC = \frac{1}{2} (12 + 4\sqrt{3})(12 + 12\sqrt{3})$. Вынесем общие множители для упрощения: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4(3 + \sqrt{3}) \cdot 12(1 + \sqrt{3}) = 2 \cdot 12 \cdot (3 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})$. Раскроем скобки: $S_{ABC} = 24 \cdot (3 \cdot 1 + 3\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 24 \cdot (3 + 3\sqrt{3} + \sqrt{3} + 3)$. $S_{ABC} = 24 \cdot (6 + 4\sqrt{3}) = 144 + 96\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $144 + 96\sqrt{3}$ см$^2$.