Номер 261, страница 99 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

261. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 10$ см, $BC = 12$ см, отрезок $CK$ — биссектриса треугольника. Найдите отношение площадей треугольников $ACK$ и $BCK$.

261. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 10$ см, $BC = 12$ см, отрезок $CK$ — биссектриса треугольника. Найдите отношение площадей треугольников $ACK$ и $BCK$.

Отношение площадей треугольников $ACK$ и $BCK$ можно найти, используя свойство биссектрисы и формулу площади треугольника.

Способ 1: Через общую высоту.

Рассмотрим треугольники $ACK$ и $BCK$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ к стороне $AB$. Эта высота будет общей для обоих треугольников. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Площадь треугольника $ACK$ равна $S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot CH$.
Площадь треугольника $BCK$ равна $S_{BCK} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot CH$.

Найдем отношение их площадей:
$\frac{S_{ACK}}{S_{BCK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot CH}{\frac{1}{2} \cdot BK \cdot CH} = \frac{AK}{BK}$

По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса $CK$ делит противолежащую сторону $AB$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам $AC$ и $BC$:
$\frac{AK}{BK} = \frac{AC}{BC}$

Следовательно, отношение площадей треугольников $ACK$ и $BCK$ равно отношению сторон $AC$ и $BC$:
$\frac{S_{ACK}}{S_{BCK}} = \frac{AC}{BC}$

Подставляем известные значения $AC = 10$ см и $BC = 12$ см:
$\frac{S_{ACK}}{S_{BCK}} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Способ 2: Через формулу площади с синусом угла.

Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ – стороны, а $\gamma$ – угол между ними.
Так как $CK$ – биссектриса, то $\angle ACK = \angle BCK$. Обозначим этот угол как $\alpha$.
$S_{ACK} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CK \cdot \sin(\alpha)$
$S_{BCK} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CK \cdot \sin(\alpha)$

Найдем отношение площадей:
$\frac{S_{ACK}}{S_{BCK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot CK \cdot \sin(\alpha)}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CK \cdot \sin(\alpha)} = \frac{AC}{BC}$

Подставляя значения, получаем тот же результат:
$\frac{S_{ACK}}{S_{BCK}} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$