Номер 268, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Найдите площадь равнобокой трапеции, меньшее основание которой равно 10 см, боковая сторона — 6 см, а угол при меньшем основании — $120^\circ$.

268. Найдите площадь равнобокой трапеции, меньшее основание которой равно 10 см, боковая сторона — 6 см, а угол при меньшем основании — $120^\circ$.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ – основания.

По условию задачи имеем:

• меньшее основание $b = BC = 10$ см;
• боковая сторона $c = AB = CD = 6$ см;
• угол при меньшем основании $\angle B = 120^\circ$.

В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны, следовательно, $\angle C = \angle B = 120^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Найдем угол при большем основании:
$\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Так как трапеция равнобокая, то $\angle D = \angle A = 60^\circ$.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – длины оснований, а $h$ – высота. Нам необходимо найти высоту $h$ и длину большего основания $a$.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем гипотенуза $AB = 6$ см и угол $\angle A = 60^\circ$.

Высота трапеции $h$ равна катету $BH$:
$h = BH = AB \cdot \sin(\angle A) = 6 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем большее основание $a = AD$. Проведем вторую высоту $CK$ из вершины $C$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 10$ см.

Так как трапеция равнобокая, то треугольники $ABH$ и $DCK$ равны. Это означает, что отрезки, которые высоты отсекают от большего основания, равны: $AH = KD$.

Найдем длину отрезка $AH$ из треугольника $ABH$:
$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Длина большего основания $a$ равна сумме длин отрезков $AH$, $HK$ и $KD$:
$a = AD = AH + HK + KD = 3 + 10 + 3 = 16$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления площади трапеции:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{16+10}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{26}{2} \cdot 3\sqrt{3} = 13 \cdot 3\sqrt{3} = 39\sqrt{3}$ см².

Ответ: $39\sqrt{3}$ см².