Номер 272, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

272. Разность оснований прямоугольной трапеции равна 16 см, а разность боковых сторон — 8 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 15 см.

272. Разность оснований прямоугольной трапеции равна 16 см, а разность боковых сторон — 8 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 15 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания ($AD > BC$), а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Тогда $AB$ является высотой трапеции. Обозначим длины сторон: $AD = a$, $BC = b$, высота $AB = h$, боковая сторона $CD = c$.

Исходя из условия задачи, составим систему уравнений:

1. Разность оснований: $a - b = 16$ см.
2. Разность боковых сторон: $c - h = 8$ см. (Так как в прямоугольной трапеции наклонная боковая сторона всегда длиннее высоты, $c > h$).

В трапеции есть две диагонали: $AC$ и $BD$. Найдем, какая из них меньшая. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$:

• $AC^2 = AB^2 + BC^2 = h^2 + b^2$
• $BD^2 = AB^2 + AD^2 = h^2 + a^2$

Поскольку $a > b$, то $a^2 > b^2$, и, следовательно, $BD^2 > AC^2$. Значит, меньшая диагональ — это $AC$. По условию $AC = 15$ см.

Получаем третье уравнение:

3. $h^2 + b^2 = 15^2 = 225$.

Для решения системы нам необходимо еще одно уравнение. Проведем высоту $CE$ из вершины $C$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $ABCE$ и прямоугольный треугольник $\triangle CED$.

В треугольнике $\triangle CED$:

• Катет $CE = AB = h$.
• Катет $ED = AD - AE = a - b = 16$ см.
• Гипотенуза $CD = c$.

По теореме Пифагора для $\triangle CED$:

$CE^2 + ED^2 = CD^2$

$h^2 + (a - b)^2 = c^2$

Получаем четвертое уравнение:

4. $h^2 + 16^2 = c^2 \Rightarrow h^2 + 256 = c^2$.

Теперь решим полученную систему уравнений. Из второго уравнения выразим $c$: $c = h + 8$. Подставим это выражение в четвертое уравнение:

$h^2 + 256 = (h + 8)^2$

$h^2 + 256 = h^2 + 16h + 64$

$256 - 64 = 16h$

$192 = 16h$

$h = \frac{192}{16} = 12$ см.

Зная высоту $h$, найдем меньшее основание $b$ из третьего уравнения:

$12^2 + b^2 = 225$

$144 + b^2 = 225$

$b^2 = 225 - 144 = 81$

$b = 9$ см.

Теперь найдем большее основание $a$ из первого уравнения:

$a - 9 = 16$

$a = 16 + 9 = 25$ см.

Все стороны трапеции найдены. Теперь можем вычислить ее площадь по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S = \frac{25+9}{2} \cdot 12 = \frac{34}{2} \cdot 12 = 17 \cdot 12 = 204$ см².

Ответ: 204 см².