Номер 26.36, страница 191 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.36. Каждая из пяти прямых, пересекающих стороны $BC$ и $AD$ квадрата $ABCD$, делит его на два четырёхугольника, площади которых относятся как $2 : 3$. Докажите, что по крайней мере три из этих прямых проходят через одну точку.

26.36. Каждая из пяти прямых, пересекающих стороны $BC$ и $AD$ квадрата $ABCD$, делит его на два четырёхугольника, площади которых относятся как $2 : 3$. Докажите, что по крайней мере три из этих прямых проходят через одну точку.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Введем систему координат так, чтобы вершины квадрата имели координаты $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,a)$ и $D(0,a)$. В этой системе сторона $AD$ лежит на оси ординат, а сторона $BC$ — на прямой $x=a$.

Каждая из пяти прямых по условию пересекает стороны $AD$ и $BC$. Пусть произвольная прямая $l$ пересекает сторону $AD$ в точке $P$ с координатами $(0, y_1)$ и сторону $BC$ в точке $Q$ с координатами $(a, y_2)$, где $0 \le y_1 \le a$ и $0 \le y_2 \le a$.

Эта прямая делит квадрат на два четырехугольника: $ABQP$ и $PQCD$. Оба этих четырехугольника являются трапециями, так как их стороны, лежащие на $AD$ и $BC$, параллельны. Площадь трапеции $ABQP$ с основаниями $AP$ (длиной $y_1$) и $BQ$ (длиной $y_2$) и высотой $a$ (расстояние между прямыми $x=0$ и $x=a$) вычисляется по формуле:$S_{ABQP} = \frac{y_1 + y_2}{2} \cdot a$.

Общая площадь квадрата равна $S = a^2$. По условию, площади двух четырехугольников относятся как $2:3$. Это означает, что площади этих частей равны $\frac{2}{5}S = \frac{2}{5}a^2$ и $\frac{3}{5}S = \frac{3}{5}a^2$.

Следовательно, для каждой из пяти прямых возможны два случая:
1. $S_{ABQP} = \frac{2}{5}a^2 \implies \frac{y_1 + y_2}{2} \cdot a = \frac{2}{5}a^2 \implies y_1 + y_2 = \frac{4}{5}a$.
2. $S_{ABQP} = \frac{3}{5}a^2 \implies \frac{y_1 + y_2}{2} \cdot a = \frac{3}{5}a^2 \implies y_1 + y_2 = \frac{6}{5}a$.

Рассмотрим середину отрезка $PQ$, соединяющего точки пересечения прямой со сторонами квадрата. Координаты этой середины $M$ равны $(\frac{0+a}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$. Любая прямая проходит через середину отрезка, который она высекает на двух параллельных прямых.

В первом случае, когда $y_1 + y_2 = \frac{4}{5}a$, координаты середины отрезка $PQ$ будут $(\frac{a}{2}, \frac{4a/5}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{2a}{5})$. Обозначим эту точку $T_1$. Таким образом, все прямые, удовлетворяющие первому условию, проходят через точку $T_1(\frac{a}{2}, \frac{2a}{5})$.

Во втором случае, когда $y_1 + y_2 = \frac{6}{5}a$, координаты середины отрезка $PQ$ будут $(\frac{a}{2}, \frac{6a/5}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{3a}{5})$. Обозначим эту точку $T_2$. Таким образом, все прямые, удовлетворяющие второму условию, проходят через точку $T_2(\frac{a}{2}, \frac{3a}{5})$.

Итак, каждая из пяти данных прямых обязательно проходит либо через точку $T_1$, либо через точку $T_2$. У нас есть 5 прямых (объектов) и 2 точки (контейнера), через которые они могут проходить. По принципу Дирихле, если 5 объектов распределяются по 2 контейнерам, то по крайней мере в одном контейнере окажется не менее $\lceil 5/2 \rceil = 3$ объектов.

Это означает, что по крайней мере три из пяти прямых проходят через одну и ту же точку (либо $T_1$, либо $T_2$), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Каждая прямая, удовлетворяющая условию, должна проходить через одну из двух фиксированных точек. По принципу Дирихле, из пяти прямых по крайней мере три пройдут через одну из этих двух точек.