Номер 26.30, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.30. На отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, отметили точку и соединили её со всеми вершинами трапеции. Докажите, что образовавшиеся треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.

26.30. На отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, отметили точку и соединили её со всеми вершинами трапеции. Докажите, что образовавшиеся треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $M$ — середина основания $BC$, а $N$ — середина основания $AD$. Точка $P$ лежит на отрезке $MN$. Требуется доказать, что площади треугольников $APB$ и $DPC$, прилежащих к боковым сторонам $AB$ и $CD$ соответственно, равны, то есть $S_{\triangle APB} = S_{\triangle DPC}$.

Доказательство начнем со свойства отрезка, соединяющего середины оснований трапеции. Отрезок $MN$ делит трапецию $ABCD$ на две равновеликие трапеции: $ABMN$ и $NCDM$. Докажем это. Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$. Тогда площади трапеций $ABMN$ и $NCDM$ вычисляются следующим образом:

$S_{ABMN} = \frac{BM + AN}{2} \cdot h = \frac{\frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AD}{2} \cdot h = \frac{BC + AD}{4} \cdot h$

$S_{NCDM} = \frac{MC + ND}{2} \cdot h = \frac{\frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AD}{2} \cdot h = \frac{BC + AD}{4} \cdot h$

Таким образом, мы показали, что $S_{ABMN} = S_{NCDM}$.

Теперь выразим площади этих двух равновеликих трапеций через площади треугольников, образованных точкой $P$:

$S_{ABMN} = S_{\triangle APB} + S_{\triangle APN} + S_{\triangle BPM}$

$S_{NCDM} = S_{\triangle DPC} + S_{\triangle DPN} + S_{\triangle CPM}$

Поскольку левые части этих равенств равны, мы можем приравнять и правые части:

$S_{\triangle APB} + S_{\triangle APN} + S_{\triangle BPM} = S_{\triangle DPC} + S_{\triangle DPN} + S_{\triangle CPM}$

Далее, сравним площади треугольников $\triangle APN$ и $\triangle DPN$. У них общая вершина $P$, а их основания $AN$ и $ND$ равны (так как $N$ — середина $AD$) и лежат на одной прямой. Высота, опущенная из вершины $P$ на прямую $AD$, у них общая. Следовательно, их площади равны: $S_{\triangle APN} = S_{\triangle DPN}$.

Аналогично, для треугольников $\triangle BPM$ и $\triangle CPM$: у них общая вершина $P$, а их основания $BM$ и $MC$ равны (так как $M$ — середина $BC$) и лежат на одной прямой. Их площади также равны: $S_{\triangle BPM} = S_{\triangle CPM}$.

Подставим эти равенства площадей в полученное ранее уравнение. Заменим в левой части $S_{\triangle APN}$ на $S_{\triangle DPN}$ и $S_{\triangle BPM}$ на $S_{\triangle CPM}$:

$S_{\triangle APB} + S_{\triangle DPN} + S_{\triangle CPM} = S_{\triangle DPC} + S_{\triangle DPN} + S_{\triangle CPM}$

Вычитая сумму площадей $S_{\triangle DPN} + S_{\triangle CPM}$ из обеих частей равенства, получаем итоговый результат:

$S_{\triangle APB} = S_{\triangle DPC}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны.