Номер 26.26, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.26. Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна 48 см, а средняя линия трапеции — 25 см. Найдите площадь трапеции.

26.26. Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна 48 см, а средняя линия трапеции – 25 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция, диагонали которой $d_1$ и $d_2$ перпендикулярны. По условию, длина одной из диагоналей равна 48 см, а длина средней линии $m$ равна 25 см.

Пусть $d_1 = 48$ см и $m = 25$ см.

Площадь любого выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, можно найти по формуле:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Чтобы найти площадь трапеции, нам необходимо найти длину второй диагонали $d_2$. Для этого воспользуемся свойством, связывающим диагонали и среднюю линию трапеции с перпендикулярными диагоналями.

Рассмотрим четырехугольник, образованный серединами сторон трапеции. Согласно теореме Вариньона, такой четырехугольник является параллелограммом. Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям трапеции и равны их половинам.

Поскольку диагонали трапеции перпендикулярны, то смежные стороны этого параллелограмма также перпендикулярны. Следовательно, этот параллелограмм является прямоугольником.

Диагоналями этого прямоугольника являются отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон трапеции. Один из этих отрезков — это средняя линия трапеции $m$. Пусть стороны этого прямоугольника равны $a_{rect}$ и $b_{rect}$. Тогда $a_{rect} = \frac{d_1}{2}$ и $b_{rect} = \frac{d_2}{2}$.

По теореме Пифагора для этого прямоугольника, квадрат его диагонали равен сумме квадратов его сторон:

$m^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Подставим известные значения $m=25$ и $d_1=48$:

$25^2 = (\frac{48}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$625 = 24^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$625 = 576 + \frac{d_2^2}{4}$

Теперь найдем $\frac{d_2^2}{4}$:

$\frac{d_2^2}{4} = 625 - 576 = 49$

$d_2^2 = 49 \cdot 4 = 196$

$d_2 = \sqrt{196} = 14$ см.

Теперь, зная длины обеих диагоналей, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 14 = 24 \cdot 14 = 336$ см².

Ответ: 336 см².