Номер 26.28, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.28. Трапеция $ABCD$ ($BC \parallel AD$) вписана в окружность. Точка $O$ — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если $\angle BOA = 60^\circ$, а высота трапеции равна $h$.

26.28. Трапеция ABCD ($BC \parallel AD$) вписана в окружность. Точка O — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если $\angle BOA = 60^\circ$, а высота трапеции равна $h$.

1. Анализ свойств трапеции и треугольника BOA

Трапеция, вписанная в окружность, всегда является равнобедренной. Следовательно, трапеция $ABCD$ — равнобедренная, а значит ее боковые стороны равны ($AB = CD$) и диагонали равны ($AC = BD$).

Рассмотрим треугольник $\triangle BOA$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R$. Таким образом, $\triangle BOA$ — равнобедренный. По условию, угол при вершине $\angle BOA = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ является равносторонним. Отсюда следует, что боковая сторона трапеции равна радиусу описанной окружности: $AB = R$.

2. Нахождение длины диагонали трапеции

Угол $\angle BDA$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Центральный угол, опирающийся на дугу $AB$, это $\angle BOA = 60^\circ$.

Следовательно, $\angle BDA = \frac{1}{2} \cdot \angle BOA = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Проведем высоту трапеции $BE$ из вершины $B$ на основание $AD$. По условию, $BE = h$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDE$. В этом треугольнике нам известны катет $BE$ и противолежащий ему угол $\angle BDA$.

Из определения синуса: $\sin(\angle BDA) = \frac{BE}{BD}$.

Подставим известные значения: $\sin(30^\circ) = \frac{h}{BD}$.

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение: $\frac{1}{2} = \frac{h}{BD}$.

Отсюда находим длину диагонали: $BD = 2h$.

3. Вычисление площади трапеции

Так как трапеция равнобедренная, ее диагонали равны: $AC = BD = 2h$.

Проведем высоту $CF$ из вершины $C$ на основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACF$. В нем гипотенуза $AC = 2h$ и катет $CF = h$. По теореме Пифагора найдем длину катета $AF$:

$AF^2 = AC^2 - CF^2$

$AF^2 = (2h)^2 - h^2 = 4h^2 - h^2 = 3h^2$

$AF = \sqrt{3h^2} = h\sqrt{3}$.

В равнобедренной трапеции длина отрезка большего основания от вершины до основания высоты, проведенной из другой вершины, равна средней линии трапеции. То есть, $AF = \frac{AD+BC}{2}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$.

Подставив $AF$ вместо средней линии, получаем:

$S = AF \cdot h = (h\sqrt{3}) \cdot h = h^2\sqrt{3}$.

Ответ: $h^2\sqrt{3}$