Номер 26.27, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.27. В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ диагонали перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если диагональ $AC$ равна 20 см, а высота трапеции — 12 см.

26.27. В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ диагонали перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если диагональ $AC$ равна 20 см, а высота трапеции — 12 см.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. По условию, диагонали трапеции перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Длина диагонали $AC = 20$ см, а высота трапеции $h = 12$ см.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся дополнительным построением. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $BCED$. В нем:

• $BC \parallel DE$ (так как $BC \parallel AD$, а точка $E$ лежит на продолжении $AD$).
• $CE \parallel BD$ (по построению).

Следовательно, $BCED$ — параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что $DE = BC$ и $CE = BD$.

Площадь трапеции $ABCD$ вычисляется по формуле: $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Рассмотрим треугольник $ACE$. Его основание $AE = AD + DE$. Так как $DE = BC$, то $AE = AD + BC$. Высота треугольника $ACE$, проведенная из вершины $C$ к основанию $AE$, совпадает с высотой трапеции $h$. Площадь треугольника $ACE$ равна: $S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Таким образом, площадь трапеции $ABCD$ равна площади треугольника $ACE$. Найдем площадь этого треугольника.

По условию $AC \perp BD$. Так как мы построили $CE \parallel BD$, то из этого следует, что $AC \perp CE$. Значит, треугольник $ACE$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $C$.

Проведем в треугольнике $ACE$ высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AE$. Длина этой высоты равна высоте трапеции, то есть $CH = h = 12$ см. Катет $AC$ известен и равен $20$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (угол $H$ прямой). По теореме Пифагора: $AC^2 = AH^2 + CH^2$ $20^2 = AH^2 + 12^2$ $400 = AH^2 + 144$ $AH^2 = 400 - 144 = 256$ $AH = \sqrt{256} = 16$ см.

В прямоугольном треугольнике $ACE$ высота $CH$, проведенная к гипотенузе, связана с отрезками гипотенузы $AH$ и $EH$ соотношением: $CH^2 = AH \cdot EH$. $12^2 = 16 \cdot EH$ $144 = 16 \cdot EH$ $EH = \frac{144}{16} = 9$ см.

Теперь мы можем найти длину гипотенузы $AE$: $AE = AH + EH = 16 + 9 = 25$ см.

Площадь треугольника $ACE$ (а значит и трапеции $ABCD$) можно найти как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S_{ABCD} = S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 12 = 25 \cdot 6 = 150$ см$^2$.

Ответ: 150 см$^2$.