Номер 26.25, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.25. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно $a$.

26.25. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой её острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если её меньшее основание равно $a$.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. По условию, $BC = a$. Так как трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $\angle DAB$. Это означает, что она делит угол на два равных: $\angle CAB = \angle CAD$. Обозначим эти углы как $\alpha$, то есть $\angle CAB = \angle CAD = \alpha$. Тогда весь острый угол трапеции $\angle DAB = 2\alpha$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $AC$. Следовательно, $\angle BCA = \angle CAD = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем два угла равны: $\angle CAB = \angle BCA = \alpha$. Это значит, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Отсюда следует, что боковая сторона $AB$ равна меньшему основанию $BC$:

$AB = BC = a$

Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, то и вторая боковая сторона равна $a$:

$CD = AB = a$

По второму условию, диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, то есть $\angle ACD = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным. Найдем его углы:

• $\angle CAD = \alpha$
• $\angle ACD = 90^\circ$
• $\angle CDA$ — это острый угол трапеции. В равнобокой трапеции углы при основании равны, поэтому $\angle CDA = \angle DAB = 2\alpha$.

Сумма углов в треугольнике $ACD$ равна $180^\circ$. Составим уравнение:

$\angle CAD + \angle ACD + \angle CDA = 180^\circ$

$\alpha + 90^\circ + 2\alpha = 180^\circ$

$3\alpha = 90^\circ$

$\alpha = 30^\circ$

Таким образом, острый угол трапеции равен $2\alpha = 60^\circ$.

Теперь найдем длину большего основания $AD$ из прямоугольного треугольника $ACD$. В этом треугольнике катет $CD = a$, а $AD$ — гипотенуза. Угол $\angle CDA = 60^\circ$.

$\cos(\angle CDA) = \frac{CD}{AD}$

$\cos(60^\circ) = \frac{a}{AD}$

$\frac{1}{2} = \frac{a}{AD} \implies AD = 2a$

Для вычисления площади трапеции нам нужна ее высота $h$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$.

• Гипотенуза $CD = a$
• $\angle CDH = \angle CDA = 60^\circ$
• Высота $h = CH$ является катетом, противолежащим углу $60^\circ$.

$h = CH = CD \cdot \sin(\angle CDH) = a \cdot \sin(60^\circ) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$

Подставляем найденные значения:

$S = \frac{a + 2a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$