Номер 26.22, страница 190 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.22. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 12 см. Большая из боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, больший из которых равен 16 см. Найдите площадь трапеции.

26.22. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 12 см. Большая из боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, больший из которых равен 16 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $\angle A = \angle B = 90^\circ$. В эту трапецию вписана окружность с радиусом $r = 12$ см.

Высота прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности. Высота трапеции – это ее боковая сторона $AB$.$h = AB = 2r = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Другая боковая сторона – $CD$. По условию, она является большей боковой стороной. Точка касания $K$ делит сторону $CD$ на два отрезка. Пусть это отрезки $CK$ и $KD$. По условию, больший из них равен 16 см. Пусть $KD = 16$ см.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной точки к окружности: отрезки касательных от вершины до точек касания равны.Пусть окружность касается оснований $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Тогда:$CK = CM$$KD = DN = 16$ см.

Поскольку трапеция прямоугольная, отрезки $BM$ и $AN$, образованные точками касания на основаниях от прямых углов, равны радиусу вписанной окружности:$BM = r = 12$ см.$AN = r = 12$ см.

Теперь мы можем выразить длины оснований трапеции:Основание $BC = BM + MC = 12 + CK$.Основание $AD = AN + ND = 12 + 16 = 28$ см.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Получим прямоугольный треугольник $CHD$. В этом треугольнике:Катет $CH$ равен высоте трапеции: $CH = AB = 24$ см.Гипотенуза $CD = CK + KD = CK + 16$.Катет $HD = AD - AH = AD - BC = 28 - (12 + CK) = 16 - CK$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $CHD$: $CD^2 = CH^2 + HD^2$.Подставим полученные выражения:$(CK + 16)^2 = 24^2 + (16 - CK)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $CK$:$CK^2 + 32 \cdot CK + 256 = 576 + 256 - 32 \cdot CK + CK^2$$32 \cdot CK + 32 \cdot CK = 576$$64 \cdot CK = 576$$CK = \frac{576}{64} = 9$ см.

Наше предположение, что $KD$ – больший отрезок, оказалось верным, так как $KD = 16$ см, а $CK = 9$ см.Теперь найдем длины оснований и боковой стороны $CD$:Основание $BC = 12 + CK = 12 + 9 = 21$ см.Основание $AD = 28$ см.Большая боковая сторона $CD = CK + KD = 9 + 16 = 25$ см. (Проверяем: $25$ см $> 24$ см, значит $CD$ действительно большая боковая сторона).

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$$S = \frac{21 + 28}{2} \cdot 24 = \frac{49}{2} \cdot 24 = 49 \cdot 12 = 588$ см$^2$.

Ответ: $588$ см$^2$.