Номер 26.17, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.17. Диагональ трапеции разбивает её на треугольники, площади которых относятся как 3 : 7. Как относятся площади трапеций, на которые разбивает данную трапецию её средняя линия?

26.17. Диагональ трапеции разбивает её на треугольники, площади которых относятся как $3 : 7$. Как относятся площади трапеций, на которые разбивает данную трапецию её средняя линия?

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$. Для определенности будем считать, что $a$ — большее основание, а $b$ — меньшее.

Диагональ трапеции разбивает ее на два треугольника. Площадь первого треугольника (с основанием $b$) равна $S_1 = \frac{1}{2} b h$. Площадь второго треугольника (с основанием $a$) равна $S_2 = \frac{1}{2} a h$. Отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} b h}{\frac{1}{2} a h} = \frac{b}{a}$

По условию задачи, отношение площадей треугольников равно 3 : 7. Так как основанию $a$ соответствует треугольник с большей площадью, то отношение площади меньшего треугольника к большему будет $\frac{b}{a} = \frac{3}{7}$. Отсюда мы можем выразить основания через коэффициент пропорциональности $x$: $b = 3x$ и $a = 7x$.

Теперь рассмотрим среднюю линию трапеции. Длина средней линии $m$ равна полусумме оснований:

$m = \frac{a+b}{2} = \frac{7x+3x}{2} = \frac{10x}{2} = 5x$

Средняя линия делит трапецию на две меньшие трапеции, высота каждой из которых равна половине высоты исходной трапеции, то есть $\frac{h}{2}$.

Первая трапеция (верхняя, прилегающая к основанию $b$) имеет основания $b$ и $m$. Её площадь $S_{верх}$ равна:

$S_{верх} = \frac{b+m}{2} \cdot \frac{h}{2}$

Вторая трапеция (нижняя, прилегающая к основанию $a$) имеет основания $m$ и $a$. Её площадь $S_{нижн}$ равна:

$S_{нижн} = \frac{m+a}{2} \cdot \frac{h}{2}$

Найдем отношение площадей этих двух трапеций:

$\frac{S_{верх}}{S_{нижн}} = \frac{\frac{b+m}{2} \cdot \frac{h}{2}}{\frac{m+a}{2} \cdot \frac{h}{2}} = \frac{b+m}{m+a}$

Подставим в это соотношение значения оснований и средней линии, выраженные через $x$:

$\frac{S_{верх}}{S_{нижн}} = \frac{3x+5x}{5x+7x} = \frac{8x}{12x} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Таким образом, площади трапеций, на которые средняя линия разбивает исходную трапецию, относятся как 2 к 3.

Ответ: 2 : 3.