Номер 26.13, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.13. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 28 см, а острый угол — $30^\circ$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

26.13. Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 28 см, а острый угол — $30^\circ$. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $AD$ и $BC$ являются основаниями, $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (и, следовательно, высота трапеции), а $CD$ — большая (наклонная) боковая сторона. Угол $\angle D$ — острый угол трапеции.

Согласно условию задачи:

• Большая боковая сторона $CD = 28$ см.
• Острый угол $\angle D = 30^\circ$.
• В трапецию можно вписать окружность.

Для нахождения площади трапеции нам нужно знать её высоту и сумму оснований.

1. Найдём высоту трапеции.

Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Поскольку трапеция прямоугольная, $ABCH$ — прямоугольник, и, следовательно, высота $h = AB = CH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ (угол $\angle H = 90^\circ$). В этом треугольнике:

• Гипотенуза $CD = 28$ см.
• Угол $\angle D = 30^\circ$.
• Катет $CH$ является высотой трапеции.

Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Таким образом:

$h = CH = CD \cdot \sin(30^\circ) = 28 \cdot \frac{1}{2} = 14$ см.

Итак, высота трапеции и её меньшая боковая сторона $AB$ равны 14 см.

2. Найдём сумму оснований.

По свойству описанного четырёхугольника (трапеции, в которую можно вписать окружность), суммы длин её противолежащих сторон равны:

$AB + CD = AD + BC$

Подставим известные значения длин боковых сторон:

$14 + 28 = AD + BC$

$AD + BC = 42$ см.

3. Вычислим площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Подставим найденные значения суммы оснований и высоты:

$S = \frac{42}{2} \cdot 14 = 21 \cdot 14 = 294$ см².

Ответ: 294 см².