Номер 26.6, страница 189 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.6. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 6 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

26.6. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 6 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$). Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, а $AC$ — диагональ, которая является биссектрисой острого угла $\angle DAB$ и пересекает среднюю линию в точке $K$.

Нахождение оснований трапеции

Точка $K$ делит среднюю линию $MN$ на два отрезка: $MK$ и $KN$. В треугольнике $ABC$ отрезок $MK$ является средней линией, поскольку $M$ — середина стороны $AB$ и $MK$ параллельна основанию $BC$. Следовательно, $MK = \frac{BC}{2}$.

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $KN$ является средней линией, так как $N$ — середина стороны $CD$ и $KN$ параллельна основанию $AD$. Следовательно, $KN = \frac{AD}{2}$.

Поскольку $AD$ — большее основание, то $KN$ — больший из двух отрезков. Из условия задачи $MK = 6$ см и $KN = 12$ см. Теперь мы можем найти длины оснований трапеции:

$BC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 6 = 12$ см.

$AD = 2 \cdot KN = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Нахождение боковой стороны трапеции

По условию диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$, значит $\angle CAB = \angle DAC$.

Так как $BC \parallel AD$, то углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются накрест лежащими при секущей $AC$, следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle DAC$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle CAB = \angle BCA$. Это означает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Так как $BC = 12$ см, то и боковая сторона $AB = 12$ см. Поскольку трапеция равнобокая, то $CD = AB = 12$ см.

Нахождение высоты трапеции

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции длина отрезка $AH$ вычисляется по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{24 - 12}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Гипотенуза $AB = 12$ см, катет $AH = 6$ см. По теореме Пифагора найдем катет $BH$, который является высотой трапеции:

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108$.

$BH = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Нахождение площади трапеции

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота. Выражение $\frac{a+b}{2}$ равно длине средней линии $MN$. Длина средней линии $MN = MK + KN = 6 + 12 = 18$ см.

Подставим значения в формулу:

$S = MN \cdot BH = 18 \cdot 6\sqrt{3} = 108\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $108\sqrt{3}$ см$^2$.