Номер 26.1, страница 188 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

26.1. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 14 см и 16 см, а диагональ – 17 см.

26.1. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 14 см и 16 см, а диагональ – 17 см.

26.1.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$.
По условию задачи известны:
Большее основание $a = AD = 16$ см.
Меньшее основание $b = BC = 14$ см.
Диагональ $d = AC = 17$ см.

Площадь трапеции находится по формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.

Для вычисления площади необходимо найти высоту $h$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на большее основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$, в котором гипотенуза $AC = 17$ см, а катеты — высота $CH = h$ и отрезок $AH$.

Найдем длину отрезка $AH$. Для этого проведем еще одну высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $AD$.
Поскольку $BC \parallel AD$ и высоты $BK$ и $CH$ перпендикулярны $AD$, четырехугольник $BCHK$ является прямоугольником. Следовательно, $KH = BC = 14$ см.
В равнобокой трапеции прямоугольные треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DCH$ равны (по гипотенузе и острому углу), поэтому их катеты $AK$ и $HD$ также равны.
Длину этих отрезков можно найти как разность оснований, деленную на два:
$AK = HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{16 - 14}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.
Теперь можем найти длину отрезка $AH$:
$AH = AK + KH = 1 + 14 = 15$ см.
(Стоит отметить, что в равнобокой трапеции отрезок, отсекаемый высотой на большем основании от вершины острого угла до вершины тупого угла, равен полусумме оснований: $AH = \frac{AD+BC}{2} = \frac{16+14}{2}=15$ см).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$. По теореме Пифагора:
$AC^2 = AH^2 + CH^2$
Подставим известные значения, чтобы найти высоту $h = CH$:
$17^2 = 15^2 + h^2$
$289 = 225 + h^2$
$h^2 = 289 - 225$
$h^2 = 64$
$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{16+14}{2} \cdot 8 = \frac{30}{2} \cdot 8 = 15 \cdot 8 = 120$ см².

Ответ: 120 см².