Номер 25.58, страница 185 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.58. Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $M$, а лучи $BC$ и $AD$ — в точке $N$. Известно, что $S_{BMC} = S_{DNC}$. Докажите, что диагональ $AC$ делит диагональ $BD$ пополам.

25.58. Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $M$, а лучи $BC$ и $AD$ — в точке $N$. Известно, что $S_{BMC} = S_{DNC}$. Докажите, что диагональ $AC$ делит диагональ $BD$ пополам.

Пусть диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке O.

Для доказательства того, что диагональ AC делит диагональ BD пополам, нам необходимо доказать, что точка O является серединой отрезка BD, то есть BO = OD.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Отношение их площадей равно отношению высот, опущенных из вершин B и D на общее основание AC. Аналогично, для треугольников $\triangle ABO$ и $\triangle ADO$, имеющих общую вершину A, отношение их площадей равно отношению оснований BO и OD:

$\frac{S_{ABO}}{S_{ADO}} = \frac{BO}{OD}$

Для треугольников $\triangle CBO$ и $\triangle CDO$, имеющих общую вершину C:

$\frac{S_{CBO}}{S_{CDO}} = \frac{BO}{OD}$

Из этих равенств следует, что $\frac{S_{ABO}}{S_{ADO}} = \frac{S_{CBO}}{S_{CDO}} = \frac{BO}{OD}$.

По свойству пропорций, $\frac{S_{ABO} + S_{CBO}}{S_{ADO} + S_{CDO}} = \frac{BO}{OD}$, что равносильно $\frac{S_{ABC}}{S_{ADC}} = \frac{BO}{OD}$.

Таким образом, задача сводится к доказательству того, что $S_{ABC} = S_{ADC}$.

Доказательство:

1. Проанализируем условие $S_{BMC} = S_{DNC}$.
Лучи AB и DC пересекаются в точке M, а лучи BC и AD — в точке N. Из условия следует, что на одной прямой лежат точки A, B, M в указанном порядке, на другой — D, C, M. Аналогично, на одной прямой лежат точки A, D, N, а на другой — B, C, N.
Точки M, D, C лежат на одной прямой, а точки N, B, C — на другой. Следовательно, углы $\angle BCM$ и $\angle DCN$ являются вертикальными, а значит, они равны. Обозначим $\angle BCM = \angle DCN = \gamma$.

Площади треугольников $\triangle BMC$ и $\triangle DNC$ можно выразить через синус угла:

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot CB \cdot CM \cdot \sin\gamma$

$S_{DNC} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot CN \cdot \sin\gamma$

Поскольку $S_{BMC} = S_{DNC}$, мы получаем равенство:

$CB \cdot CM = CD \cdot CN$

или

$\frac{CM}{CD} = \frac{CN}{CB}$

2. Докажем, что $S_{MDB} = S_{DNB}$.
Рассмотрим треугольники $\triangle MDB$ и $\triangle CDB$. У них общая вершина B, а основания MD и CD лежат на одной прямой. Отношение их площадей равно отношению длин оснований:

$\frac{S_{MDB}}{S_{CDB}} = \frac{MD}{CD}$

Аналогично, для треугольников $\triangle DNB$ и $\triangle CDB$ с общей вершиной D и основаниями NB и CB на одной прямой:

$\frac{S_{DNB}}{S_{CDB}} = \frac{NB}{CB}$

Из соотношения $\frac{CM}{CD} = \frac{CN}{CB}$, полученного в п.1, обозначим это отношение как $k$. Тогда $CM = k \cdot CD$ и $CN = k \cdot CB$.
Так как точка C лежит между D и M, то $MD = MC + CD = k \cdot CD + CD = (k+1)CD$.
Так как точка C лежит между B и N, то $NB = NC + CB = k \cdot CB + CB = (k+1)CB$.

Отсюда находим отношения:

$\frac{MD}{CD} = k+1$

$\frac{NB}{CB} = k+1$

Следовательно, $\frac{MD}{CD} = \frac{NB}{CB}$.

Подставляя это в формулы для отношений площадей, получаем:

$\frac{S_{MDB}}{S_{CDB}} = \frac{S_{DNB}}{S_{CDB}} \implies S_{MDB} = S_{DNB}$

3. Докажем, что MN || BD.
Треугольники $\triangle MDB$ и $\triangle DNB$ имеют общее основание BD. Так как их площади равны ($S_{MDB} = S_{DNB}$), то высоты, опущенные из вершин M и N на прямую BD, также должны быть равны. Это означает, что точки M и N находятся на одинаковом расстоянии от прямой BD и по одну сторону от нее. Следовательно, прямая MN параллельна прямой BD.

4. Докажем, что AC делит BD пополам.
Фигура, образованная четырьмя прямыми AB, DC, AD, BC, является полным четырехугольником. Его диагоналями являются отрезки AC, BD и MN. Мы доказали, что диагональ MN параллельна диагонали BD. Для полного четырехугольника верно свойство: если две диагонали параллельны, то третья диагональ делит эти две пополам.
В нашем случае, так как MN || BD, третья диагональ AC делит диагональ BD пополам.

Таким образом, точка пересечения AC и BD является серединой BD. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.