Номер 25.52, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.52. Дан выпуклый $n$-угольник. Постройте равновеликий ему $(n - 1)$-угольник.

25.52. Дан выпуклый $n$-угольник. Постройте равновеликий ему $(n-1)$-угольник.

Для построения равновеликого $(n-1)$-угольника из исходного выпуклого $n$-угольника необходимо выполнить процедуру уменьшения числа вершин на одну, сохраняя при этом площадь фигуры. Эта процедура основана на замене одного из треугольников, составляющих многоугольник, на другой, равновеликий ему.

Пусть дан выпуклый $n$-угольник с вершинами $A_1, A_2, \dots, A_n$, перечисленными в порядке обхода (например, против часовой стрелки).

Построение

Алгоритм построения $(n-1)$-угольника, равновеликого данному $n$-угольнику, заключается в следующем:

1. Выберем любую вершину, которую мы хотим устранить. Пусть это будет вершина $A_k$ (для определённости, можно взять $k=3$, предполагая $n \ge 4$). Соседними с ней являются вершины $A_{k-1}$ и $A_{k+1}$.
2. Проведём диагональ, соединяющую соседние вершины, то есть отрезок $A_{k-1}A_{k+1}$.
3. Через вершину $A_k$ проведём прямую $L$, параллельную диагонали $A_{k-1}A_{k+1}$.
4. Продлим одну из сторон многоугольника, смежных с ломаной $A_{k-2}A_{k-1}A_k$. Например, продлим сторону $A_{k-2}A_{k-1}$ за вершину $A_{k-1}$.
5. Найдём точку $P$ — точку пересечения прямой $L$ и прямой, содержащей продленную сторону $A_{k-2}A_{k-1}$.
6. Искомый $(n-1)$-угольник — это многоугольник с вершинами $A_1, \dots, A_{k-2}, P, A_{k+1}, \dots, A_n$. В этом многоугольнике вершины $A_{k-1}$ и $A_k$ заменены одной вершиной $P$.

Доказательство

Докажем, что построенный $(n-1)$-угольник $A_1\dots A_{k-2}PA_{k+1}\dots A_n$ имеет ту же площадь, что и исходный $n$-угольник $A_1\dots A_n$.

Для удобства обозначим площадь многоугольника $M$ как $S(M)$.

Площадь исходного многоугольника $S_n = S(A_1\dots A_n)$ можно представить как сумму площади многоугольника $A_1\dots A_{k-2}A_{k+1}\dots A_n$ и площади четырехугольника $A_{k-2}A_{k-1}A_kA_{k+1}$.

$S_n = S(A_1\dots A_{k-2}A_{k+1}\dots A_n) + S(A_{k-2}A_{k-1}A_kA_{k+1})$

Площадь нового многоугольника $S_{n-1} = S(A_1\dots A_{k-2}PA_{k+1}\dots A_n)$ можно представить как сумму площади того же многоугольника $A_1\dots A_{k-2}A_{k+1}\dots A_n$ и площади треугольника $\triangle A_{k-2}PA_{k+1}$.

$S_{n-1} = S(A_1\dots A_{k-2}A_{k+1}\dots A_n) + S(\triangle A_{k-2}PA_{k+1})$

Для доказательства равенства $S_n = S_{n-1}$ достаточно показать, что $S(A_{k-2}A_{k-1}A_kA_{k+1}) = S(\triangle A_{k-2}PA_{k+1})$.

Площадь четырехугольника $A_{k-2}A_{k-1}A_kA_{k+1}$ (он выпуклый, так как исходный многоугольник выпуклый) равна сумме площадей треугольников $\triangle A_{k-2}A_{k-1}A_{k+1}$ и $\triangle A_{k-1}A_kA_{k+1}$.

$S(A_{k-2}A_{k-1}A_kA_{k+1}) = S_{\triangle A_{k-2}A_{k-1}A_{k+1}} + S_{\triangle A_{k-1}A_kA_{k+1}}$

Площадь треугольника $\triangle A_{k-2}PA_{k+1}$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle A_{k-2}A_{k-1}A_{k+1}$ и $\triangle A_{k-1}PA_{k+1}$, поскольку точка $A_{k-1}$ лежит на стороне $A_{k-2}P$ (по построению, так как $P$ лежит на прямой, проходящей через $A_{k-2}$ и $A_{k-1}$).

$S_{\triangle A_{k-2}PA_{k+1}} = S_{\triangle A_{k-2}A_{k-1}A_{k+1}} + S_{\triangle A_{k-1}PA_{k+1}}$

Сравнивая два выражения для площадей, видим, что для их равенства необходимо, чтобы $S_{\triangle A_{k-1}A_kA_{k+1}} = S_{\triangle A_{k-1}PA_{k+1}}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle A_{k-1}A_kA_{k+1}$ и $\triangle A_{k-1}PA_{k+1}$. Они имеют общее основание $A_{k-1}A_{k+1}$. По построению, точка $P$ лежит на прямой $L$, которая проходит через точку $A_k$ и параллельна основанию $A_{k-1}A_{k+1}$. Следовательно, высоты этих треугольников, опущенные из вершин $A_k$ и $P$ на общее основание (или его продолжение), равны.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту ($S = \frac{1}{2}bh$). Поскольку у треугольников $\triangle A_{k-1}A_kA_{k+1}$ и $\triangle A_{k-1}PA_{k+1}$ равны основания ($b$) и высоты ($h$), их площади также равны:

$S_{\triangle A_{k-1}A_kA_{k+1}} = S_{\triangle A_{k-1}PA_{k+1}}$

Таким образом, мы доказали, что $S(A_{k-2}A_{k-1}A_kA_{k+1}) = S(\triangle A_{k-2}PA_{k+1})$, и, следовательно, $S_n = S_{n-1}$. Построенный $(n-1)$-угольник равновелик исходному $n$-угольнику.

Ответ: Чтобы построить $(n-1)$-угольник, равновеликий данному $n$-угольнику $A_1\dots A_n$, нужно выбрать вершину $A_k$ для устранения. Затем провести через нее прямую, параллельную диагонали $A_{k-1}A_{k+1}$, и найти точку $P$ пересечения этой прямой с продолжением стороны $A_{k-2}A_{k-1}$. Искомый $(n-1)$-угольник будет иметь вершины $A_1, \dots, A_{k-2}, P, A_{k+1}, \dots, A_n$.