Номер 25.46, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.46. В треугольнике $ABC$ отметили точку $M$ так, что площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$ равны. Докажите, что $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$.

25.46. В треугольнике $ABC$ отметили точку $M$ так, что площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$ равны. Докажите, что $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$.

Пусть $S_{AMB}$, $S_{BMC}$ и $S_{AMC}$ обозначают площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$ соответственно. По условию задачи, эти площади равны: $S_{AMB} = S_{BMC} = S_{AMC}$.

Чтобы доказать, что точка $M$ является точкой пересечения медиан, мы покажем, что она лежит на каждой из трех медиан треугольника $ABC$.

Проведем прямую через точки $A$ и $M$, которая пересечет сторону $BC$ в точке $A_1$. Докажем, что $AA_1$ — медиана, то есть что $A_1$ является серединой стороны $BC$.

Рассмотрим треугольники $ABA_1$ и $ACA_1$. Они имеют общую высоту, опущенную из вершины $A$ на прямую $BC$. Отношение их площадей равно отношению их оснований: $$ \frac{S_{ABA_1}}{S_{ACA_1}} = \frac{BA_1}{CA_1} $$ Аналогично, для треугольников $MBA_1$ и $MCA_1$, которые имеют общую высоту из вершины $M$ на прямую $BC$, справедливо: $$ \frac{S_{MBA_1}}{S_{MCA_1}} = \frac{BA_1}{CA_1} $$

Из этих двух равенств следует, что: $$ \frac{S_{ABA_1}}{S_{ACA_1}} = \frac{S_{MBA_1}}{S_{MCA_1}} $$

Площади треугольников $AMB$ и $AMC$ можно выразить как разность площадей:
$S_{AMB} = S_{ABA_1} - S_{MBA_1}$
$S_{AMC} = S_{ACA_1} - S_{MCA_1}$

Так как по условию $S_{AMB} = S_{AMC}$, то: $$ S_{ABA_1} - S_{MBA_1} = S_{ACA_1} - S_{MCA_1} $$ Пусть отношение $\frac{BA_1}{CA_1} = k$. Тогда из полученных выше соотношений следует, что $S_{ABA_1} = k \cdot S_{ACA_1}$ и $S_{MBA_1} = k \cdot S_{MCA_1}$. Подставим эти выражения в равенство: $$ k \cdot S_{ACA_1} - k \cdot S_{MCA_1} = S_{ACA_1} - S_{MCA_1} $$ $$ k(S_{ACA_1} - S_{MCA_1}) = S_{ACA_1} - S_{MCA_1} $$ $$ k \cdot S_{AMC} = S_{AMC} $$ Поскольку $M$ — точка внутри треугольника, площадь $S_{AMC}$ не равна нулю. Мы можем разделить обе части уравнения на $S_{AMC}$, получив $k=1$.

Из $k = \frac{BA_1}{CA_1} = 1$ следует, что $BA_1 = CA_1$. Это означает, что $A_1$ — середина стороны $BC$, а отрезок $AA_1$ — медиана треугольника $ABC$. Следовательно, точка $M$ лежит на медиане, проведенной из вершины $A$.

Аналогично, используя равенство $S_{AMB} = S_{BMC}$, доказывается, что точка $M$ лежит на медиане, проведенной из вершины $B$. А из равенства $S_{BMC} = S_{AMC}$ доказывается, что точка $M$ лежит на медиане, проведенной из вершины $C$.

Поскольку точка $M$ одновременно принадлежит всем трем медианам треугольника $ABC$, она является точкой их пересечения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что M — точка пересечения медиан треугольника ABC.