Номер 25.44, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.44. На продолжениях сторон $AB$, $BC$ и $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ за точки $B$, $C$ и $A$ соответственно отметили точки $D$, $E$ и $F$ так, что $BD = CE = AF = 2AB$. Найдите площадь треугольника $DEF$, если площадь треугольника $ABC$ равна $1 см^2$.

25.44. На продолжениях сторон $AB$, $BC$ и $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ за точки $B$, $C$ и $A$ соответственно отметили точки $D$, $E$ и $F$ так, что $BD = CE = AF = 2AB$. Найдите площадь треугольника $DEF$, если площадь треугольника $ABC$ равна $1 \text{ см}^2$.

Пусть сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$. Тогда $AB = BC = AC = a$.

Площадь равностороннего треугольника $ABC$ вычисляется по формуле: $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. По условию, $S_{ABC} = 1$ см².

Точки $D$, $E$ и $F$ лежат на продолжениях сторон $AB$, $BC$ и $AC$ за точки $B$, $C$ и $A$ соответственно. По условию задачи имеем: $BD = CE = AF = 2AB = 2a$.

Площадь треугольника $DEF$ можно найти как сумму площади треугольника $ABC$ и площадей трех треугольников, образовавшихся на его сторонах: $ADF$, $BDE$ и $CEF$. $S_{DEF} = S_{ABC} + S_{ADF} + S_{BDE} + S_{CEF}$.

Рассмотрим эти три "внешних" треугольника.

1. Треугольник $ADF$
Его стороны $AD$ и $AF$ равны: $AD = AB + BD = a + 2a = 3a$. $AF = 2a$. Угол $\angle FAD$ является смежным с углом $\angle BAC$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, $\angle BAC = 60^\circ$. Следовательно, $\angle FAD = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Площадь треугольника $ADF$ равна: $S_{ADF} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AF \cdot \sin(\angle FAD) = \frac{1}{2} \cdot (3a) \cdot (2a) \cdot \sin(120^\circ) = 3a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

2. Треугольник $BDE$
Его стороны $BD$ и $BE$ равны: $BD = 2a$. $BE = BC + CE = a + 2a = 3a$. Угол $\angle DBE$ является смежным с углом $\angle ABC$. Так как $\angle ABC = 60^\circ$, то $\angle DBE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Площадь треугольника $BDE$ равна: $S_{BDE} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BE \cdot \sin(\angle DBE) = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot (3a) \cdot \sin(120^\circ) = 3a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

3. Треугольник $CEF$
Его стороны $CE$ и $CF$ равны: $CE = 2a$. $CF = AC + AF = a + 2a = 3a$. Угол $\angle ECF$ является смежным с углом $\angle BCA$. Так как $\angle BCA = 60^\circ$, то $\angle ECF = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Площадь треугольника $CEF$ равна: $S_{CEF} = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot CF \cdot \sin(\angle ECF) = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot (3a) \cdot \sin(120^\circ) = 3a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, площади треугольников $ADF$, $BDE$ и $CEF$ равны (эти треугольники конгруэнтны по двум сторонам и углу между ними). Выразим их площадь через площадь треугольника $ABC$: $S_{ADF} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Найдем отношение площадей: $\frac{S_{ADF}}{S_{ABC}} = \frac{3a^2\sqrt{3}/2}{a^2\sqrt{3}/4} = \frac{3/2}{1/4} = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$. Следовательно, $S_{ADF} = S_{BDE} = S_{CEF} = 6 \cdot S_{ABC}$.

Теперь найдем общую площадь треугольника $DEF$: $S_{DEF} = S_{ABC} + S_{ADF} + S_{BDE} + S_{CEF} = S_{ABC} + 6 \cdot S_{ABC} + 6 \cdot S_{ABC} + 6 \cdot S_{ABC} = (1+6+6+6) \cdot S_{ABC} = 19 \cdot S_{ABC}$.

Подставляя известное значение $S_{ABC} = 1$ см², получаем: $S_{DEF} = 19 \cdot 1 = 19$ см².

Ответ: 19 см².