Номер 25.39, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.39. Площадь прямоугольного треугольника равна $\frac{2}{3}r^2$, где $r$ — радиус вневписанной окружности, касающейся одного из катетов. Найдите стороны треугольника.

25.39. Площадь прямоугольного треугольника равна $\frac{2}{3}r^2$, где $r$ — радиус вневписанной окружности, касающейся одного из катетов. Найдите стороны треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$.

Площадь треугольника $S$ и полупериметр $p$ определяются формулами:

$S = \frac{1}{2}ab$

$p = \frac{a+b+c}{2}$

По условию, площадь треугольника равна $S = \frac{2}{3}r^2$, где $r$ – радиус вневписанной окружности, касающейся одного из катетов. Пусть эта окружность касается катета $a$. Обозначим ее радиус как $r_a$. Таким образом, $r = r_a$.

Для радиуса вневписанной окружности, касающейся стороны $a$, справедлива общая формула:

$r_a = \frac{S}{p-a}$

Подставим $r_a=r$ и $S=\frac{2}{3}r^2$ в эту формулу:

$r = \frac{\frac{2}{3}r^2}{p-a}$

Так как радиус $r$ не может быть равен нулю, мы можем сократить на $r$:

$1 = \frac{\frac{2}{3}r}{p-a} \implies p-a = \frac{2}{3}r$

Для прямоугольного треугольника существуют особые соотношения для радиусов вневписанных окружностей. Радиус вневписанной окружности, касающейся катета $a$, равен:

$r_a = p-b$

Поскольку по нашему предположению $r = r_a$, мы получаем второе уравнение:

$p-b = r$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $p-a = \frac{2}{3}r$

2. $p-b = r$

Из этой системы выразим катеты $a$ и $b$ через $p$ и $r$:

$a = p - \frac{2}{3}r$

$b = p - r$

Теперь воспользуемся формулой площади $S = \frac{1}{2}ab$ и условием $S = \frac{2}{3}r^2$.

$\frac{2}{3}r^2 = \frac{1}{2}(p - \frac{2}{3}r)(p - r)$

Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:

$4r^2 = 3(p - \frac{2}{3}r)(p - r)$

$4r^2 = 3(p^2 - pr - \frac{2}{3}pr + \frac{2}{3}r^2)$

$4r^2 = 3(p^2 - \frac{5}{3}pr + \frac{2}{3}r^2)$

$4r^2 = 3p^2 - 5pr + 2r^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $p$:

$3p^2 - 5pr - 2r^2 = 0$

Решим это уравнение относительно $p$, рассматривая $r$ как постоянный коэффициент:

$D = (-5r)^2 - 4(3)(-2r^2) = 25r^2 + 24r^2 = 49r^2$

$p = \frac{5r \pm \sqrt{49r^2}}{2 \cdot 3} = \frac{5r \pm 7r}{6}$

Получаем два возможных решения для $p$:

$p_1 = \frac{5r + 7r}{6} = \frac{12r}{6} = 2r$

$p_2 = \frac{5r - 7r}{6} = \frac{-2r}{6} = -\frac{1}{3}r$

Поскольку полупериметр $p$ и радиус $r$ должны быть положительными величинами, единственно возможное решение – $p=2r$.

Теперь мы можем найти длины катетов, подставив $p=2r$ в выражения для $a$ и $b$:

$a = p - \frac{2}{3}r = 2r - \frac{2}{3}r = \frac{6r - 2r}{3} = \frac{4}{3}r$

$b = p - r = 2r - r = r$

Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2 = (\frac{4}{3}r)^2 + r^2 = \frac{16}{9}r^2 + r^2 = \frac{16r^2 + 9r^2}{9} = \frac{25r^2}{9}$

$c = \sqrt{\frac{25r^2}{9}} = \frac{5}{3}r$

Таким образом, стороны треугольника равны $r, \frac{4}{3}r, \frac{5}{3}r$.

Если бы мы изначально предположили, что вневписанная окружность касается катета $b$, то получили бы катеты $a=r$ и $b=\frac{4}{3}r$, что дает тот же самый набор длин сторон.

Ответ: Стороны треугольника равны $r, \frac{4}{3}r, \frac{5}{3}r$.