Номер 25.42, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.42. Отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника, делит его на два равновеликих четырёхугольника. Докажите, что эти стороны параллельны.

25.42. Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, делит его на два равновеликих четырёхугольника. Докажите, что эти стороны параллельны.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина противолежащей стороны $CD$. Отрезок $MN$ делит четырёхугольник $ABCD$ на два четырёхугольника: $AMND$ и $MBCN$. По условию, их площади равны, то есть $S_{AMND} = S_{MBCN}$.

Рассмотрим площади этих двух четырёхугольников. Площадь каждого из них можно представить как сумму площадей двух треугольников, на которые их разбивает диагональ.

Площадь четырёхугольника $AMND$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle ADN$ и $\triangle AMN$, проведя диагональ $AN$:$S_{AMND} = S_{\triangle ADN} + S_{\triangle AMN}$.

Площадь четырёхугольника $MBCN$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle BCN$ и $\triangle BMN$, проведя диагональ $BN$:$S_{MBCN} = S_{\triangle BCN} + S_{\triangle BMN}$.

Приравняем площади, согласно условию задачи:$S_{\triangle ADN} + S_{\triangle AMN} = S_{\triangle BCN} + S_{\triangle BMN}$.

Теперь сравним площади треугольников $\triangle AMN$ и $\triangle BMN$. У этих треугольников общее основание лежит на прямой $AB$, и их вершины совпадают в точке $N$. Основания $AM$ и $MB$ равны, так как $M$ — середина отрезка $AB$. Высота, опущенная из вершины $N$ на прямую $AB$, является общей для обоих треугольников. Следовательно, их площади равны:$S_{\triangle AMN} = \frac{1}{2} AM \cdot h_N = \frac{1}{2} MB \cdot h_N = S_{\triangle BMN}$.

Вычитая равные площади $S_{\triangle AMN}$ и $S_{\triangle BMN}$ из обеих частей равенства площадей четырёхугольников, получаем:$S_{\triangle ADN} = S_{\triangle BCN}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADN$ и $\triangle BCN$. Их основания $DN$ и $CN$ лежат на одной прямой $CD$. Так как $N$ — середина стороны $CD$, то длины этих оснований равны: $DN = CN$.

Площадь треугольника $\triangle ADN$ равна половине произведения его основания $DN$ на высоту, опущенную из вершины $A$ на прямую $CD$. Обозначим эту высоту как $h_A$:$S_{\triangle ADN} = \frac{1}{2} DN \cdot h_A$.

Площадь треугольника $\triangle BCN$ равна половине произведения его основания $CN$ на высоту, опущенную из вершины $B$ на прямую $CD$. Обозначим эту высоту как $h_B$:$S_{\triangle BCN} = \frac{1}{2} CN \cdot h_B$.

Так как $S_{\triangle ADN} = S_{\triangle BCN}$ и $DN = CN$, из этого следует, что высоты $h_A$ и $h_B$ равны:$h_A = h_B$.

Равенство высот означает, что точки $A$ и $B$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $CD$. Поскольку четырёхугольник $ABCD$ выпуклый, точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $CD$. Если две точки лежат по одну сторону от прямой и на равном расстоянии от неё, то прямая, проходящая через эти точки, параллельна данной прямой.

Следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$.

Аналогичное доказательство можно провести, если отрезок соединяет середины сторон $AD$ и $BC$. В этом случае будет доказано, что стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Таким образом, если отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника, делит его на два равновеликих четырёхугольника, то эти стороны параллельны.

Ответ: Утверждение доказано. Стороны, середины которых соединены отрезком, параллельны.