Номер 25.43, страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.43. Каждая диагональ четырёхугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.

25.43. Каждая диагональ четырёхугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Площадь треугольника будем обозначать буквой $S$.

По условию задачи, каждая диагональ делит четырёхугольник на два равновеликих треугольника, то есть на два треугольника с равными площадями.

1. Диагональ $AC$ делит $ABCD$ на треугольники $ABC$ и $ADC$. По условию, их площади равны:
$S_{ABC} = S_{ADC}$
Площадь $S_{ABC}$ является суммой площадей треугольников $AOB$ и $COB$. Площадь $S_{ADC}$ является суммой площадей $AOD$ и $COD$.
Следовательно, $S_{AOB} + S_{COB} = S_{AOD} + S_{COD}$ (уравнение 1).

2. Диагональ $BD$ делит $ABCD$ на треугольники $ABD$ и $CBD$. По условию, их площади равны:
$S_{ABD} = S_{CBD}$
Аналогично, $S_{ABD} = S_{AOB} + S_{AOD}$ и $S_{CBD} = S_{COB} + S_{COD}$.
Следовательно, $S_{AOB} + S_{AOD} = S_{COB} + S_{COD}$ (уравнение 2).

Рассмотрим систему из двух полученных уравнений:
1) $S_{AOB} + S_{COB} = S_{AOD} + S_{COD}$
2) $S_{AOB} + S_{AOD} = S_{COB} + S_{COD}$

Вычтем из уравнения (1) уравнение (2):
$(S_{AOB} + S_{COB}) - (S_{AOB} + S_{AOD}) = (S_{AOD} + S_{COD}) - (S_{COB} + S_{COD})$
$S_{COB} - S_{AOD} = S_{AOD} - S_{COB}$
$2 \cdot S_{COB} = 2 \cdot S_{AOD}$
$S_{COB} = S_{AOD}$

Подставим полученный результат ($S_{COB} = S_{AOD}$) в уравнение (1):
$S_{AOB} + S_{AOD} = S_{AOD} + S_{COD}$
$S_{AOB} = S_{COD}$

Таким образом, мы доказали, что площади треугольников, образованных пересечением диагоналей, попарно равны: $S_{AOB} = S_{COD}$ и $S_{AOD} = S_{COB}$.

Треугольники $AOB$ и $COB$ имеют общую высоту, проведённую из вершины $B$ к прямой $AC$. Следовательно, их площади относятся как длины их оснований $AO$ и $CO$:
$\frac{S_{AOB}}{S_{COB}} = \frac{AO}{CO}$

Аналогично, треугольники $AOD$ и $COD$ имеют общую высоту, проведённую из вершины $D$ к прямой $AC$. Поэтому:
$\frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{AO}{CO}$

Отсюда следует, что $\frac{S_{AOB}}{S_{COB}} = \frac{S_{AOD}}{S_{COD}}$.
Используя ранее доказанные равенства $S_{AOB} = S_{COD}$ и $S_{AOD} = S_{COB}$, подставим их в эту пропорцию:
$\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}} = \frac{S_{AOD}}{S_{AOB}}$
$(S_{AOB})^2 = (S_{AOD})^2$
Так как площади являются положительными величинами, то $S_{AOB} = S_{AOD}$.
Из этого следует, что все четыре треугольника, образованные пересечением диагоналей, имеют равные площади: $S_{AOB} = S_{COB} = S_{COD} = S_{AOD}$.

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COB$. Они имеют равные площади и общую высоту, опущенную из вершины $B$ на прямую $AC$. Следовательно, их основания равны: $AO = CO$.

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $AOD$. Они имеют равные площади и общую высоту, опущенную из вершины $A$ на прямую $BD$. Следовательно, их основания равны: $BO = DO$.

Таким образом, диагонали четырёхугольника $ABCD$ в точке пересечения делятся пополам. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник, каждая диагональ которого делит его на два равновеликих треугольника, является параллелограммом.