Номер 25.40, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.40. Докажите, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения точки на основании.

25.40. Докажите, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения точки на основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Возьмем на основании $AC$ произвольную точку $P$. Проведем из точки $P$ перпендикуляры $PH_1$ и $PH_2$ к боковым сторонам $AB$ и $BC$ соответственно. Нам необходимо доказать, что сумма длин этих перпендикуляров, $PH_1 + PH_2$, не зависит от выбора точки $P$ на основании $AC$.

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Соединим точку $P$ с вершиной $B$. Отрезок $BP$ разделяет треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABP$ и $\triangle CBP$. Площадь исходного треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_{ABC} = S_{ABP} + S_{CBP}$

Площадь треугольника $ABP$ можно найти, используя сторону $AB$ в качестве основания. В этом случае высота, проведенная из вершины $P$ к основанию $AB$, будет равна длине перпендикуляра $PH_1$. Таким образом, площадь $\triangle ABP$ равна:

$S_{ABP} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PH_1$

Аналогично, для треугольника $CBP$ используем сторону $BC$ в качестве основания. Высота, проведенная из вершины $P$ к этому основанию, равна $PH_2$. Площадь $\triangle CBP$ равна:

$S_{CBP} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PH_2$

Теперь подставим выражения для площадей $S_{ABP}$ и $S_{CBP}$ в исходное равенство:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PH_1 + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PH_2$

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным, поэтому его боковые стороны равны: $AB = BC$. Обозначим длину боковой стороны как $a$. Тогда формула примет вид:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot PH_1 + \frac{1}{2} a \cdot PH_2 = \frac{1}{2} a (PH_1 + PH_2)$

Из этого уравнения мы можем выразить искомую сумму расстояний $PH_1 + PH_2$:

$PH_1 + PH_2 = \frac{2 S_{ABC}}{a}$

В правой части этого равенства находятся величины, которые являются постоянными для данного треугольника: $S_{ABC}$ (его площадь) и $a$ (длина его боковой стороны). Следовательно, их отношение $\frac{2 S_{ABC}}{a}$ также является постоянной величиной (константой).

Это доказывает, что сумма расстояний от любой точки на основании равнобедренного треугольника до его боковых сторон не зависит от положения этой точки. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма расстояний является постоянной величиной, не зависящей от положения точки на основании.