Номер 25.37, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.37. Докажите, что если площадь треугольника $ABC$ равна $rr_c$, $r$ — радиус вписанной окружности, $r_c$ — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$, то $\angle C = 90^\circ$.

25.37. Докажите, что если площадь треугольника $ABC$ равна $rr_c$, $r$ — радиус вписанной окружности, $r_c$ — радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$, то $\angle C = 90^\circ$.

Пусть $a, b, c$ — длины сторон треугольника $ABC$, противолежащих вершинам $A, B, C$ соответственно. Таким образом, сторона $AB$ имеет длину $c$. Площадь треугольника $S$, радиус вписанной окружности $r$ и радиус вневписанной окружности $r_c$, касающейся стороны $c=AB$, связаны следующими известными формулами:

$S = pr$

$S = (p-c)r_c$

где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.

Из этих формул можно выразить радиусы $r$ и $r_c$:

$r = \frac{S}{p}$

$r_c = \frac{S}{p-c}$

По условию задачи площадь треугольника равна $S = rr_c$. Подставим в это равенство выражения для $r$ и $r_c$, полученные выше:

$S = \left(\frac{S}{p}\right) \cdot \left(\frac{S}{p-c}\right) = \frac{S^2}{p(p-c)}$

Поскольку площадь невырожденного треугольника $S > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $S$:

$1 = \frac{S}{p(p-c)}$

Отсюда следует, что $S = p(p-c)$.

Теперь воспользуемся формулой Герона для площади треугольника:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Приравняем два выражения для площади $S$:

$\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = p(p-c)$

Возведем обе части равенства в квадрат:

$p(p-a)(p-b)(p-c) = (p(p-c))^2 = p^2(p-c)^2$

Для невырожденного треугольника полупериметр $p > 0$ и по неравенству треугольника $a+b > c$, откуда $p-c = \frac{a+b-c}{2} > 0$. Поэтому мы можем разделить обе части на $p(p-c)$:

$(p-a)(p-b) = p(p-c)$

Подставим в это равенство выражение для полупериметра $p = \frac{a+b+c}{2}$:

$\left(\frac{a+b+c}{2} - a\right) \left(\frac{a+b+c}{2} - b\right) = \left(\frac{a+b+c}{2}\right) \left(\frac{a+b+c}{2} - c\right)$

$\left(\frac{-a+b+c}{2}\right) \left(\frac{a-b+c}{2}\right) = \left(\frac{a+b+c}{2}\right) \left(\frac{a+b-c}{2}\right)$

Умножим обе части на 4:

$(-a+b+c)(a-b+c) = (a+b+c)(a+b-c)$

Сгруппируем слагаемые для применения формулы разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:

$(c+(b-a))(c-(b-a)) = ((a+b)+c)((a+b)-c)$

$c^2 - (b-a)^2 = (a+b)^2 - c^2$

Раскроем скобки:

$c^2 - (b^2 - 2ab + a^2) = a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

$c^2 - b^2 + 2ab - a^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

Сократим $2ab$ в обеих частях и перенесем слагаемые с $a^2$ и $b^2$ вправо, а с $c^2$ влево:

$c^2 + c^2 = a^2 + a^2 + b^2 + b^2$

$2c^2 = 2a^2 + 2b^2$

$c^2 = a^2 + b^2$

Полученное равенство является утверждением теоремы Пифагора для треугольника $ABC$. По обратной теореме Пифагора, если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то угол, противолежащий этой стороне, — прямой. В данном случае сторона $c$ (гипотенуза) лежит напротив угла $C$. Следовательно, $\angle C = 90^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.