Номер 25.32, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.32. В трапеции ABCD на боковой стороне AB отметили точку M так, что $AM : MB = 3 : 1$. Найдите отношение площадей треугольников BCD и MBD, если $BC : AD = 1 : 2$.

25.32. В трапеции $ABCD$ на боковой стороне $AB$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 3 : 1$. Найдите отношение площадей треугольников $BCD$ и $MBD$, если $BC : AD = 1 : 2$.

Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$, проведенная между параллельными основаниями $AD$ и $BC$.

Площадь треугольника $BCD$ ($S_{BCD}$) можно вычислить, приняв $BC$ за основание. Высота, опущенная из вершины $D$ на прямую, содержащую основание $BC$, будет равна высоте трапеции $h$. Таким образом, площадь треугольника $BCD$ равна: $S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h$.

Для нахождения площади треугольника $MBD$ ($S_{MBD}$) удобно сначала рассмотреть площадь треугольника $ABD$ ($S_{ABD}$). Основанием этого треугольника является сторона $AD$, а высота, опущенная из вершины $B$ на прямую $AD$, также равна высоте трапеции $h$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$.

Треугольники $MBD$ и $ABD$ имеют общую вершину $D$, а их основания $MB$ и $AB$ лежат на одной прямой. Следовательно, они имеют общую высоту, проведенную из вершины $D$ к прямой $AB$. Отношение площадей таких треугольников равно отношению длин их оснований: $\frac{S_{MBD}}{S_{ABD}} = \frac{MB}{AB}$.

Из условия задачи известно, что $AM : MB = 3 : 1$. Это означает, что вся боковая сторона $AB$ состоит из $3+1=4$ частей, и отрезок $MB$ составляет одну такую часть. Следовательно, отношение $MB$ к $AB$ равно: $\frac{MB}{AB} = \frac{1}{4}$.

Теперь выразим площадь треугольника $MBD$ через площадь треугольника $ABD$: $S_{MBD} = \frac{1}{4} S_{ABD} = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h\right) = \frac{1}{8} \cdot AD \cdot h$.

Наконец, найдем искомое отношение площадей треугольников $BCD$ и $MBD$: $\frac{S_{BCD}}{S_{MBD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h}{\frac{1}{8} \cdot AD \cdot h}$.

Высота $h$ в числителе и знаменателе сокращается: $\frac{S_{BCD}}{S_{MBD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BC}{\frac{1}{8} \cdot AD} = \frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 1} \cdot \frac{BC}{AD} = 4 \cdot \frac{BC}{AD}$.

По условию задачи $BC : AD = 1 : 2$, что означает $\frac{BC}{AD} = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в полученное выражение: $\frac{S_{BCD}}{S_{MBD}} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Ответ: 2.