Номер 25.30, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.30. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведённую к основанию, на отрезки, длины которых равны 34 см и 16 см. Найдите площадь данного треугольника.

25.30. Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту, проведённую к основанию, на отрезки, длины которых равны 34 см и 16 см. Найдите площадь данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными сторонами $AB = BC$. Пусть $BH$ — высота, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Центр вписанной окружности (инцентр), обозначим его $O$, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Так как $BH$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то инцентр $O$ лежит на высоте $BH$.

Расстояние от инцентра до любой из сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$. Поскольку высота $BH$ перпендикулярна основанию $AC$, расстояние от точки $O$ до основания $AC$ равно длине отрезка $OH$. Таким образом, $OH = r$.

Согласно условию, точка $O$ делит высоту $BH$ на отрезки длиной 34 см и 16 см. Инцентр всегда находится ближе к основанию, чем к вершине (противолежащей этому основанию). Следовательно, меньший из отрезков равен радиусу вписанной окружности, а больший — расстоянию от вершины до инцентра.
Таким образом, $OH = r = 16 \text{ см}$, а $BO = 34 \text{ см}$.

Полная длина высоты $BH$ равна сумме длин этих отрезков:
$h = BH = BO + OH = 34 + 16 = 50 \text{ см}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$. Нам известна высота $BH$, осталось найти длину основания $AC$. Так как $BH$ — медиана, то $H$ — середина $AC$, и $AC = 2 \cdot AH$. Найдем длину отрезка $AH$.

Пусть $K$ — точка касания вписанной окружности с боковой стороной $AB$. По свойству радиуса, проведенного в точку касания, $OK \perp AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BOK$ (угол $\angle BKO = 90^\circ$). В нем известны гипотенуза $BO = 34 \text{ см}$ и катет $OK = r = 16 \text{ см}$. По теореме Пифагора найдем второй катет $BK$:
$BK^2 = BO^2 - OK^2 = 34^2 - 16^2$
Используя формулу разности квадратов:
$BK^2 = (34 - 16)(34 + 16) = 18 \cdot 50 = 900$
$BK = \sqrt{900} = 30 \text{ см}$.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle BAH$ (угол $\angle BHA = 90^\circ$) и $\triangle BOK$ (угол $\angle BKO = 90^\circ$). У этих треугольников общий острый угол $\angle B$. Следовательно, треугольники $\triangle BAH$ и $\triangle BOK$ подобны по двум углам (АА-признак подобия).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{AH}{OK} = \frac{BH}{BK}$

Подставим известные значения и найдем $AH$:
$\frac{AH}{16} = \frac{50}{30}$
$\frac{AH}{16} = \frac{5}{3}$
$AH = 16 \cdot \frac{5}{3} = \frac{80}{3} \text{ см}$.

Теперь можем найти длину основания $AC$:
$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot \frac{80}{3} = \frac{160}{3} \text{ см}$.

Наконец, вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \frac{160}{3} \cdot 50 = \frac{160 \cdot 50}{2 \cdot 3} = \frac{80 \cdot 50}{3} = \frac{4000}{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $\frac{4000}{3} \text{ см}^2$.