Номер 25.23, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.23. Через вершину ромба проведите две прямые так, чтобы они разбили данный ромб на три равновеликих многоугольника.

25.23. Через вершину ромба проведите две прямые так, чтобы они разбили данный ромб на три равновеликих многоугольника.

Пусть дан ромб $ABCD$. Необходимо провести две прямые через одну из его вершин, например, вершину $A$, так, чтобы они разделили ромб на три многоугольника равной площади (равновеликих).

Пусть искомые прямые пересекают стороны ромба $BC$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. В этом случае ромб $ABCD$ разбивается на три многоугольника: треугольник $ABM$, треугольник $ADN$ и четырехугольник $AMCN$.

Для того чтобы эти три многоугольника были равновеликими, площадь каждого из них должна быть равна одной трети площади всего ромба.

$S_{\triangle ABM} = S_{\triangle ADN} = S_{AMCN} = \frac{1}{3} S_{ABCD}$

Построение и доказательство

1. Обозначим сторону ромба как $a$, то есть $AB = BC = CD = DA = a$. Площадь ромба можно выразить через две стороны и угол между ними: $S_{ABCD} = a^2 \sin(\angle B)$.

2. Рассмотрим треугольник $ABM$. Его площадь равна $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} AB \cdot BM \cdot \sin(\angle B)$. По условию, его площадь должна составлять треть площади ромба:

$\frac{1}{2} \cdot a \cdot BM \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{3} (a^2 \sin(\angle B))$

Сокращая общие множители, получаем:

$\frac{1}{2} BM = \frac{1}{3} a$

$BM = \frac{2}{3} a$

Таким образом, точка $M$ должна быть расположена на стороне $BC$ так, что $BM = \frac{2}{3} BC$.

3. Аналогично рассмотрим треугольник $ADN$. Его площадь равна $S_{\triangle ADN} = \frac{1}{2} AD \cdot DN \cdot \sin(\angle D)$. В ромбе противоположные углы равны, то есть $\angle D = \angle B$. Площадь этого треугольника также должна составлять треть площади ромба:

$\frac{1}{2} \cdot a \cdot DN \cdot \sin(\angle D) = \frac{1}{3} (a^2 \sin(\angle B))$

$\frac{1}{2} \cdot a \cdot DN \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{3} (a^2 \sin(\angle B))$

Отсюда следует, что $DN = \frac{2}{3} a$. Таким образом, точка $N$ должна быть расположена на стороне $CD$ так, что $DN = \frac{2}{3} CD$.

4. Площадь оставшегося четырехугольника $AMCN$ будет равна разности площади ромба и площадей двух построенных треугольников:

$S_{AMCN} = S_{ABCD} - S_{\triangle ABM} - S_{\triangle ADN} = S_{ABCD} - \frac{1}{3}S_{ABCD} - \frac{1}{3}S_{ABCD} = \frac{1}{3}S_{ABCD}$

Таким образом, все три полученных многоугольника равновелики.

Ответ: Чтобы разделить ромб на три равновеликие части, нужно из одной вершины (например, A) провести два отрезка к противоположным сторонам (BC и CD). Точки на этих сторонах (M и N) должны быть выбраны так, чтобы расстояние от них до смежных с A вершин (B и D) составляло две трети длины стороны ромба. То есть, необходимо отложить на стороне $BC$ отрезок $BM = \frac{2}{3}BC$ от вершины $B$, и на стороне $CD$ отрезок $DN = \frac{2}{3}CD$ от вершины $D$. Прямые $AM$ и $AN$ являются искомыми.