Номер 25.22, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.22. Через вершину параллелограмма проведите прямые так, чтобы они разбили данный параллелограмм: 1) на четыре равновеликих многоугольника; 2) на пять равновеликих многоугольников.

25.22. Через вершину параллелограмма проведите прямые так, чтобы они разбили данный параллелограмм:

1) на четыре равновеликих многоугольника;

2) на пять равновеликих многоугольников.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ с площадью $S$. Все прямые будем проводить из вершины $A$.

1) Чтобы разбить параллелограмм на четыре равновеликих многоугольника, площадь каждого из которых должна быть равна $S_{части} = S/4$, необходимо провести три прямые.

1. Проведем диагональ $AC$. Она делит параллелограмм на два равновеликих треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, площадь каждого из которых равна $S/2$.

2. Теперь необходимо разделить каждый из этих треугольников на две равновеликие части. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади.

3. В треугольнике $\triangle ABC$ проведем медиану $AN$ к стороне $BC$ (где $N$ — середина $BC$). Она разделит $\triangle ABC$ на два треугольника $\triangle ABN$ и $\triangle ANC$, площадь каждого из которых равна $(S/2)/2 = S/4$.

4. Аналогично, в треугольнике $\triangle ADC$ проведем медиану $AM$ к стороне $CD$ (где $M$ — середина $CD$). Она разделит $\triangle ADC$ на два треугольника $\triangle ADM$ и $\triangle AMC$, площадь каждого из которых равна $(S/2)/2 = S/4$.

Таким образом, три прямые $AN$, $AC$ и $AM$, проведенные из вершины $A$, разбивают параллелограмм $ABCD$ на четыре треугольника ($\triangle ABN$, $\triangle ANC$, $\triangle AMC$, $\triangle ADM$) с равными площадями, равными $S/4$.

Ответ: Необходимо провести три отрезка из одной вершины параллелограмма: к середине противолежащей стороны, к противоположной вершине (диагональ) и к середине второй противолежащей стороны.

2) Чтобы разбить параллелограмм на пять равновеликих многоугольников, площадь каждого из которых должна быть равна $S_{части} = S/5$, необходимо провести четыре прямые.

Пусть прямые выходят из вершины $A$ и пересекают стороны $BC$ и $CD$ в точках $P_i$. Площадь части параллелограмма, "отсекаемой" отрезком $AP$ (где $P$ лежит на ломаной $BCD$), меняется по мере движения точки $P$ от $B$ к $D$.

- Когда точка $P$ находится на стороне $BC$, площадь треугольника $\triangle ABP$ равна $S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} S \cdot \frac{|BP|}{|BC|}$. Эта площадь изменяется от $0$ (когда $P=B$) до $S/2$ (когда $P=C$).

- Когда точка $P$ находится на стороне $CD$, площадь многоугольника $ABCP$ равна $S_{ABCP} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACP} = \frac{S}{2} + \frac{S}{2} \cdot \frac{|CP|}{|CD|}$. Эта площадь изменяется от $S/2$ (когда $P=C$) до $S$ (когда $P=D$).

Нам нужно найти четыре точки $P_1, P_2, P_3, P_4$ на ломаной $BCD$ так, чтобы прямые $AP_1, AP_2, AP_3, AP_4$ последовательно отсекали многоугольники площадью $S/5, 2S/5, 3S/5$ и $4S/5$.

1. Найдем точку $P_1$. Площадь отсекаемой части равна $S/5$. Так как $S/5 < S/2$, точка $P_1$ лежит на $BC$.
$S_{\triangle ABP_1} = \frac{S}{5} \implies \frac{S}{2} \frac{|BP_1|}{|BC|} = \frac{S}{5} \implies |BP_1| = \frac{2}{5}|BC|$.

2. Найдем точку $P_2$. Площадь отсекаемой части равна $2S/5$. Так как $2S/5 < S/2$, точка $P_2$ лежит на $BC$.
$S_{\triangle ABP_2} = \frac{2S}{5} \implies \frac{S}{2} \frac{|BP_2|}{|BC|} = \frac{2S}{5} \implies |BP_2| = \frac{4}{5}|BC|$.

3. Найдем точку $P_3$. Площадь отсекаемой части равна $3S/5$. Так как $3S/5 > S/2$, точка $P_3$ лежит на $CD$.
$S_{ABCP_3} = \frac{3S}{5} \implies \frac{S}{2} + \frac{S}{2} \frac{|CP_3|}{|CD|} = \frac{3S}{5} \implies \frac{S}{2} \frac{|CP_3|}{|CD|} = \frac{3S}{5} - \frac{S}{2} = \frac{S}{10} \implies |CP_3| = \frac{1}{5}|CD|$.

4. Найдем точку $P_4$. Площадь отсекаемой части равна $4S/5$. Так как $4S/5 > S/2$, точка $P_4$ лежит на $CD$.
$S_{ABCP_4} = \frac{4S}{5} \implies \frac{S}{2} + \frac{S}{2} \frac{|CP_4|}{|CD|} = \frac{4S}{5} \implies \frac{S}{2} \frac{|CP_4|}{|CD|} = \frac{4S}{5} - \frac{S}{2} = \frac{3S}{10} \implies |CP_4| = \frac{3}{5}|CD|$.

Проведя четыре прямые $AP_1, AP_2, AP_3, AP_4$, мы разделим параллелограмм на пять многоугольников: $\triangle ABP_1$, $\triangle AP_1P_2$, четырехугольник $AP_2CP_3$, $\triangle AP_3P_4$ и $\triangle AP_4D$. Площадь каждого из них будет равна $S/5$.

Ответ: Необходимо из одной вершины $A$ провести четыре отрезка к точкам $P_1, P_2$ на стороне $BC$ и точкам $P_3, P_4$ на стороне $CD$, которые определяются следующими соотношениями: $|BP_1| = \frac{2}{5}|BC|$, $|BP_2| = \frac{4}{5}|BC|$, $|CP_3| = \frac{1}{5}|CD|$ и $|CP_4| = \frac{3}{5}|CD|$.