Номер 25.17, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.17. Даны прямая $l$ и параллельный ей отрезок $AB$. Докажите, что все треугольники $AXB$, где $X$ — произвольная точка прямой $l$, равновелики.

25.17. Даны прямая $l$ и параллельный ей отрезок $AB$. Докажите, что все треугольники $AXB$, где $X$ — произвольная точка прямой $l$, равновелики.

Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

Рассмотрим произвольный треугольник $AXB$, где точка $X$ принадлежит прямой $l$. В качестве основания этого треугольника выберем сторону $AB$. Длина отрезка $AB$ является постоянной величиной для всех рассматриваемых треугольников.

Высотой треугольника $AXB$, проведенной из вершины $X$ к основанию $AB$, является длина перпендикуляра, опущенного из точки $X$ на прямую, содержащую отрезок $AB$.

По условию задачи прямая $l$ параллельна отрезку $AB$. Это означает, что прямая $l$ параллельна прямой, на которой лежит отрезок $AB$. Расстояние между двумя параллельными прямыми постоянно. Следовательно, длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой $l$ (включая точку $X$) на прямую, содержащую $AB$, будет одной и той же. Обозначим эту постоянную высоту как $h$.

Таким образом, для любого треугольника $AXB$, где $X$ — произвольная точка прямой $l$, основание $AB$ и высота $h$ являются постоянными величинами. Площадь каждого такого треугольника будет равна:

$S_{AXB} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h$

Поскольку правая часть этого равенства не зависит от выбора точки $X$ на прямой $l$, то и площади всех таких треугольников равны между собой. Следовательно, все треугольники $AXB$ равновелики.

Ответ: Все треугольники $AXB$ имеют общее основание $AB$ и равные высоты, опущенные из вершины $X$ на это основание, так как расстояние между параллельными прямыми (прямой $l$ и прямой, содержащей $AB$) постоянно. Поскольку и основание, и высота у всех этих треугольников одинаковы, их площади равны. Что и требовалось доказать.