Номер 25.13, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.13. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки длиной 8 см и 12 см. Найдите площадь треугольника.

25.13. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки длиной 8 см и 12 см.

Найдите площадь треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. В этот треугольник вписана окружность. По условию, точка касания делит гипотенузу на отрезки длиной 8 см и 12 см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:
$c = 8 \text{ см} + 12 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных из одной вершины к окружности: длины отрезков касательных от вершины до точек касания равны.
Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника отрезки катетов от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу вписанной окружности, то есть $r$.
Тогда катеты треугольника можно выразить через радиус $r$ и длины отрезков на гипотенузе:
Один катет $a$ будет равен $8 + r$.
Другой катет $b$ будет равен $12 + r$.

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$(8 + r)^2 + (12 + r)^2 = 20^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$(64 + 16r + r^2) + (144 + 24r + r^2) = 400$
$2r^2 + 40r + 208 = 400$
$2r^2 + 40r - 192 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:
$r^2 + 20r - 96 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 400 + 384 = 784$
$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$
Найдем корни уравнения:
$r_1 = \frac{-20 + 28}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$
$r_2 = \frac{-20 - 28}{2 \cdot 1} = \frac{-48}{2} = -24$

Поскольку радиус не может быть отрицательным, выбираем значение $r = 4$ см.

Теперь найдем длины катетов:
$a = 8 + r = 8 + 4 = 12$ см
$b = 12 + r = 12 + 4 = 16$ см

Площадь прямоугольного треугольника $S$ равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 6 \cdot 16 = 96 \text{ см}^2$.

Также можно отметить, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин отрезков, на которые вписанная окружность делит гипотенузу.
$S = 8 \cdot 12 = 96 \text{ см}^2$.

Ответ: 96 см².