Номер 25.8, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.8. Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна $b$, а угол при основании равен $\alpha$.

25.8. Найдите площадь равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна $b$, а угол при основании равен $\alpha$.

Для решения этой задачи можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два наиболее распространенных.

Способ 1: Через высоту и основание
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.
Проведем высоту из вершины, противолежащей основанию. В равнобедренном треугольнике эта высота также является медианой и биссектрисой. Она делит исходный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенузой является боковая сторона $b$, один из острых углов равен $\alpha$.
Высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, поэтому $h = b \cdot \sin\alpha$.
Половина основания является катетом, прилежащим к углу $\alpha$, поэтому $\frac{a}{2} = b \cdot \cos\alpha$. Отсюда все основание $a = 2b \cos\alpha$.
Теперь найдем площадь, подставив $a$ и $h$ в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot (2b \cos\alpha) \cdot (b \sin\alpha) = b^2 \sin\alpha \cos\alpha$.
Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, можно записать ответ в более компактном виде:
$S = \frac{1}{2} b^2 \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha) = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$.

Способ 2: Через две стороны и угол между ними
Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}xy \sin\beta$, где $x$ и $y$ — две стороны, а $\beta$ — угол между ними.
В нашем случае известны две боковые стороны, обе равны $b$. Угол между ними найдем, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, а углы при основании равны $\alpha$.
Угол при вершине $\beta = 180^\circ - \alpha - \alpha = 180^\circ - 2\alpha$.
Подставим эти значения в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin(180^\circ - 2\alpha)$.
По формуле приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$. Следовательно:
$S = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $S = \frac{1}{2}b^2 \sin(2\alpha)$ или $S = b^2\sin\alpha\cos\alpha$.