Номер 25.10, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.10. Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна $a$.

25.10. Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна $a$.

Для нахождения площади равностороннего треугольника воспользуемся общей формулой площади треугольника: $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ – длина основания, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

Пусть дан равносторонний треугольник со стороной $a$. Возьмем одну из сторон в качестве основания, тогда $b = a$.

Проведем к этому основанию высоту $h$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Как медиана, она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2}$.

Высота $h$ делит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих прямоугольных треугольников:
- гипотенуза равна стороне исходного треугольника, то есть $a$;
- один катет равен половине основания, то есть $\frac{a}{2}$;
- второй катет является высотой $h$.

По теореме Пифагора ($c^2 = a_1^2 + a_2^2$, где $c$ – гипотенуза, $a_1$ и $a_2$ – катеты) найдем высоту $h$:
$a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2$
$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$
$h^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$
$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Теперь, зная основание $a$ и высоту $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, можем вычислить площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.