Номер 25.15, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.15. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей – 62 см.

25.15. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей – 62 см.

Пусть сторона ромба равна $a$, а его диагонали — $d_1$ и $d_2$.

Из условия задачи имеем:
$a = 25$ см
$d_1 + d_2 = 62$ см

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они образуют четыре равных прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике гипотенузой является сторона ромба $a$, а катетами — половины его диагоналей, то есть $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

По теореме Пифагора для такого треугольника:
$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известное значение $a = 25$ см:
$\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 25^2$
$d_1^2 + d_2^2 = 4 \times 625$
$d_1^2 + d_2^2 = 2500$

Мы получили систему из двух уравнений:
1. $d_1 + d_2 = 62$
2. $d_1^2 + d_2^2 = 2500$

Площадь ромба ($S$) вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Чтобы найти площадь, нам нужно найти произведение диагоналей $d_1 d_2$.

Возведем в квадрат первое уравнение системы:
$(d_1 + d_2)^2 = 62^2$
$d_1^2 + 2d_1d_2 + d_2^2 = 3844$

Теперь подставим значение $d_1^2 + d_2^2$ из второго уравнения ($2500$) в это выражение:
$2500 + 2d_1d_2 = 3844$

Найдем $2d_1d_2$:
$2d_1d_2 = 3844 - 2500$
$2d_1d_2 = 1344$

Отсюда найдем произведение диагоналей:
$d_1d_2 = \frac{1344}{2} = 672$

Теперь можем вычислить площадь ромба:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \times 672 = 336$ см$^2$.

Ответ: 336 см$^2$.