Номер 25.20, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.20. В треугольнике провели три медианы. Докажите, что они разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

25.20. В треугольнике провели три медианы. Докажите, что они разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, которые пересекаются в точке $O$. Эти медианы разбивают $\triangle ABC$ на шесть треугольников: $\triangle AOB_1$, $\triangle B_1OC$, $\triangle COA_1$, $\triangle A_1OB$, $\triangle BOC_1$ и $\triangle C_1OA$. Докажем, что все эти шесть треугольников имеют равные площади, то есть являются равновеликими.

Основное свойство, которое мы будем использовать: медиана делит треугольник на два треугольника равной площади. Это следует из того, что у этих двух треугольников равные основания (медиана делит сторону пополам) и общая высота, проведенная из общей вершины.

Рассмотрим треугольники, образованные вокруг точки пересечения медиан $O$.

1. В треугольнике $AOC$ отрезок $OB_1$ является медианой, так как $B_1$ — середина $AC$. Следовательно, $S_{\triangle AOB_1} = S_{\triangle COB_1}$. Обозначим эту площадь за $x$.

2. В треугольнике $BOC$ отрезок $OA_1$ является медианой, так как $A_1$ — середина $BC$. Следовательно, $S_{\triangle BOA_1} = S_{\triangle COA_1}$. Обозначим эту площадь за $y$.

3. В треугольнике $AOB$ отрезок $OC_1$ является медианой, так как $C_1$ — середина $AB$. Следовательно, $S_{\triangle AOC_1} = S_{\triangle BOC_1}$. Обозначим эту площадь за $z$.

Теперь применим свойство медианы к исходному треугольнику $ABC$.

Медиана $AA_1$ делит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника $\triangle ABA_1$ и $\triangle ACA_1$.$S_{\triangle ABA_1} = S_{\triangle ACA_1}$.Выразим их площади через $x, y, z$:
$S_{\triangle ABA_1} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOA_1} = (S_{\triangle AOC_1} + S_{\triangle BOC_1}) + S_{\triangle BOA_1} = z + z + y = 2z + y$.
$S_{\triangle ACA_1} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle COA_1} = (S_{\triangle AOB_1} + S_{\triangle COB_1}) + S_{\triangle COA_1} = x + x + y = 2x + y$.
Приравнивая эти выражения, получаем $2z + y = 2x + y$, откуда $2z = 2x$, то есть $z = x$.

Аналогично, медиана $BB_1$ делит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника $\triangle ABB_1$ и $\triangle CBB_1$.$S_{\triangle ABB_1} = S_{\triangle CBB_1}$.Выразим их площади:
$S_{\triangle ABB_1} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOB_1} = (S_{\triangle AOC_1} + S_{\triangle BOC_1}) + S_{\triangle AOB_1} = z + z + x = 2z + x$.
$S_{\triangle CBB_1} = S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COB_1} = (S_{\triangle BOA_1} + S_{\triangle COA_1}) + S_{\triangle COB_1} = y + y + x = 2y + x$.
Приравнивая эти выражения, получаем $2z + x = 2y + x$, откуда $2z = 2y$, то есть $z = y$.

Мы получили, что $z = x$ и $z = y$. Следовательно, все три площади равны: $x = y = z$.

Таким образом, площади всех шести треугольников равны между собой:
$S_{\triangle AOB_1} = S_{\triangle COB_1} = x$
$S_{\triangle BOA_1} = S_{\triangle COA_1} = y = x$
$S_{\triangle AOC_1} = S_{\triangle BOC_1} = z = x$
Это доказывает, что три медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Ответ: Утверждение доказано. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят его на шесть треугольников с равными площадями.