Номер 25.27, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.27. В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AB проведена высота CM. Площадь треугольника ACM равна 6 см$^\text{2}$, а площадь треугольника BCM — 54 см$^\text{2}$. Найдите стороны треугольника ABC.

25.27. В прямоугольном треугольнике $ABC$ к гипотенузе $AB$ проведена высота $CM$. Площадь треугольника $ACM$ равна $6\text{ см}^2$, а площадь треугольника $BCM$ — $54\text{ см}^2$. Найдите стороны треугольника $ABC$.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$), $AB$ — гипотенуза, а $CM$ — высота, проведенная к гипотенузе. Высота $CM$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ACM$ и $\triangle BCM$.

Эти два треугольника подобны друг другу ($\triangle ACM \sim \triangle CBM$). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$.

$k^2 = \frac{S_{BCM}}{S_{ACM}} = \frac{54}{6} = 9$

Отсюда находим коэффициент подобия:

$k = \sqrt{9} = 3$

Отношение длин соответственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия:

$\frac{BM}{CM} = \frac{CM}{AM} = \frac{BC}{AC} = k = 3$

Из соотношения $\frac{CM}{AM} = 3$ выразим $CM$: $CM = 3 \cdot AM$.

Площадь треугольника $ACM$ равна $S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CM$. Подставим в эту формулу известные значения и полученное выражение для $CM$:

$6 = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot (3 \cdot AM)$

$12 = 3 \cdot AM^2$

$AM^2 = 4$

$AM = 2$ см.

Теперь мы можем найти длину высоты $CM$ и отрезка $BM$:

$CM = 3 \cdot AM = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Из соотношения $\frac{BM}{CM} = 3$ выразим $BM$: $BM = 3 \cdot CM = 3 \cdot 6 = 18$ см.

Длина гипотенузы $AB$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $BM$:

$AB = AM + BM = 2 + 18 = 20$ см.

Для нахождения катетов $AC$ и $BC$ воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников $ACM$ и $BCM$.

В прямоугольном треугольнике $ACM$:

$AC^2 = AM^2 + CM^2 = 2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$

$AC = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$ см.

В прямоугольном треугольнике $BCM$:

$BC^2 = BM^2 + CM^2 = 18^2 + 6^2 = 324 + 36 = 360$

$BC = \sqrt{360} = \sqrt{36 \cdot 10} = 6\sqrt{10}$ см.

Ответ: стороны треугольника равны $2\sqrt{10}$ см, $6\sqrt{10}$ см и $20$ см.