Номер 25.33, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.33. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу.

25.33. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим длины катетов $AC=b$, $BC=a$ и гипотенузы $AB=c$. Пусть в треугольник вписана окружность, которая касается катетов $b$ и $a$ в точках $E$ и $D$ соответственно, а гипотенузы $c$ — в точке $F$. Точка $F$ делит гипотенузу на отрезки $AF=x$ и $FB=y$. Требуется доказать, что площадь треугольника $S$ равна произведению этих отрезков, то есть $S=xy$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

$AF = AE = x$

$BF = BD = y$

Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Рассмотрим четырехугольник $CDIE$, где $I$ — центр вписанной окружности. Углы $C$, $D$ и $E$ в этом четырехугольнике прямые, а смежные стороны $ID$ и $IE$ равны как радиусы. Следовательно, $CDIE$ — квадрат, и $CD = CE = r$.

Теперь выразим длины катетов треугольника через $x$, $y$ и $r$:

$a = BC = BD + DC = y + r$

$b = AC = AE + EC = x + r$

Длина гипотенузы, соответственно, равна $c = AB = AF + FB = x + y$.

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$. Подставим в это равенство выражения для сторон $a$, $b$ и $c$:

$(y+r)^2 + (x+r)^2 = (x+y)^2$

Раскроем скобки:

$y^2 + 2yr + r^2 + x^2 + 2xr + r^2 = x^2 + 2xy + y^2$

Упростим уравнение, сократив $x^2$ и $y^2$ в обеих частях:

$2xr + 2yr + 2r^2 = 2xy$

Разделим обе части равенства на 2:

$xr + yr + r^2 = xy$

Теперь рассмотрим площадь треугольника. Площадь любого треугольника можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Найдем полупериметр нашего треугольника:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{(y+r)+(x+r)+(x+y)}{2} = \frac{2x+2y+2r}{2} = x+y+r$

Подставим полупериметр в формулу площади:

$S = p \cdot r = (x+y+r) \cdot r = xr + yr + r^2$

Сравнивая два полученных равенства:

$xy = xr + yr + r^2$

$S = xr + yr + r^2$

Мы приходим к выводу, что $S = xy$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу.