Номер 25.38, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

25.38. Касательная к окружности, вписанной в равносторонний треугольник $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите площадь треугольника $MBN$, если $AB = a$, $MN = b$.

25.38. Касательная к окружности, вписанной в равносторонний треугольник $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите площадь треугольника $MBN$, если $AB = a$, $MN = b$.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB = a$. В него вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $MN = b$. Требуется найти площадь треугольника $MBN$.

Обозначим длины сторон треугольника $MBN$ следующим образом: $BM = x$ и $BN = y$.
Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол $\angle MBN = \angle ABC = 60^\circ$.

Площадь треугольника $MBN$ можно найти по формуле:
$S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot BN \cdot \sin(\angle MBN)$
$S_{MBN} = \frac{1}{2} xy \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} xy \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}xy$
Таким образом, задача сводится к нахождению произведения $xy$. Для этого нам нужно составить систему уравнений с переменными $x$ и $y$.

1. Применение теоремы косинусов
Применим теорему косинусов для треугольника $MBN$:
$MN^2 = BM^2 + BN^2 - 2 \cdot BM \cdot BN \cdot \cos(\angle MBN)$
Подставим известные значения и переменные:
$b^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos(60^\circ)$
$b^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cdot \frac{1}{2}$
$b^2 = x^2 + y^2 - xy$ (1)
Это первое уравнение нашей системы.

2. Использование свойств касательных к окружности
Рассмотрим вписанную в $\triangle ABC$ окружность. Она является вневписанной для треугольника $MBN$ (касается стороны $MN$ и продолжений сторон $BM$ и $BN$).
Пусть окружность касается прямых $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.
По свойству касательных, проведенных из одной вершины к вписанной в равносторонний треугольник окружности, длины отрезков от вершины до точек касания равны половине стороны треугольника:
$BP = BQ = \frac{a}{2}$
С другой стороны, по свойству вневписанной окружности, расстояние от вершины (в данном случае $B$) до точек касания на продолжениях сторон равно полупериметру треугольника (в данном случае $\triangle MBN$):
$BP = s_{MBN} = \frac{BM + BN + MN}{2}$
$BP = \frac{x+y+b}{2}$
Приравнивая два выражения для $BP$, получаем:
$\frac{a}{2} = \frac{x+y+b}{2}$
$a = x+y+b$
$x+y = a-b$ (2)
Это второе уравнение системы.

3. Решение системы уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $x^2 + y^2 - xy = b^2$
2) $x+y = a-b$
Возведем второе уравнение в квадрат:
$(x+y)^2 = (a-b)^2$
$x^2 + 2xy + y^2 = (a-b)^2$
Из первого уравнения выразим $x^2 + y^2 = b^2 + xy$ и подставим в преобразованное второе уравнение:
$(b^2 + xy) + 2xy = (a-b)^2$
$b^2 + 3xy = a^2 - 2ab + b^2$
$3xy = a^2 - 2ab$
$xy = \frac{a(a-2b)}{3}$

4. Вычисление площади
Подставим найденное значение $xy$ в формулу для площади треугольника $MBN$:
$S_{MBN} = \frac{\sqrt{3}}{4}xy = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a(a-2b)}{3}$
$S_{MBN} = \frac{\sqrt{3}a(a-2b)}{12}$

Ответ: Площадь треугольника MBN равна $\frac{\sqrt{3}a(a-2b)}{12}$.